Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF．
（1）猜想OD和DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）設(shè)OD=t，求OB的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）若點B在E的右側(cè)時，△BFE與△OFE能否相似？若能，請你求出此時經(jīng)過O，A，B三點的拋物線解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）OD=DE
理由：根據(jù)A點的坐標(biāo)可知：∠AOB=45°，
因此△OCD是等腰直角三角形，
∴OD=CD，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=DE=OD

（2）在直角三角形OCD中，OD=t
因此OC=t
易知OA=2，
∴AC=2-t．
∵CF∥OB
∴△ACF∽△AOB
∴，
即，OB=

（3）本題分兩種情況：
①∠FOE=∠FBE，則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=，
解得t=
∴OB=4t=6，即B點坐標(biāo)為（6，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-6），由于拋物線過A點，則有：
2=a×2×（2-6），a=-
因此拋物線的解析式為y=-x²+x．
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=
∴OB=OE+BE=2t+t=t．
∴OB==t，
解得t=
∴OB=3
因此B點的坐標(biāo)為（3，0）．
則過A，B，O三點的拋物線為y=-x²+3x．
因此△BFE與△OFE能相似，此時過A，O，B三點的拋物線為y=-x²+x或y=-x²+3x．
分析：（1）OD=DE，根據(jù)A點的坐標(biāo)即可得出直線OA在第一象限的角平分線上，因此△OCD是等腰直角三角形，OD=CD，根據(jù)四邊形CDEF是正方形，因此CD=DE，即OD=DE．
（2）可根據(jù)相似三角形ACF和AOB來求解．根據(jù)兩三角形相似可得出關(guān)于CF，OB，AC，AO的比例關(guān)系式，可用t表示出CF，CD即可得出OB的長．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
①∠FOE=∠FBE，此時△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根據(jù)（2）的結(jié)果即可得出t的值，進(jìn)而可求出B點的坐標(biāo)，然后根據(jù)O，A，B三點坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
②∠OFE=∠FBE，此時EF²=OE•BE，據(jù)此可表示出BE的長，而后仿照①的解法求出t的值，進(jìn)而根據(jù)O，A，B三點坐標(biāo)來求拋物線的解析式．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．