Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點(diǎn)．
（1）如圖，當(dāng)C點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若設(shè)AC=x，請(qǐng)用x表示線段AD的長．
（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出直線AE的解析式．
（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn)F，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)直線EF∥直線BO？這時(shí)⊙F和直線BO相切的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說明．
（4）G為CD與⊙F的交點(diǎn)，H為直線DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HG、HC，求HG+HC的最小值，并將此最小值用x表示．

Answer 1

分析：（1）由△OAB和△BCD都為等邊三角形，等邊三角形的邊長相等，且每一個(gè)內(nèi)角都為60°，得到∠OBA=∠DBC，等號(hào)兩邊都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到對(duì)應(yīng)邊AD與OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變．理由為：由（1）得到的兩三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等邊三角形BCD，得到∠BAO=60°，根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的長，根據(jù)tan60°的定義求出OE的長，確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程，把點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式；
（3）由EA與OB平行，且EF也與OB平行，根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到A為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可求出C的坐標(biāo)；相切，理由是由F為等邊三角形BC邊的中點(diǎn)，根據(jù)“三線合一”得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證；
（4）根據(jù)等邊三角形的“三線合一”得到DF垂直平分BC，所以C與D關(guān)于DF對(duì)稱，所以GB為HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三點(diǎn)在圓F圓周上，得到FB，F(xiàn)C及FG相等，利用一邊的中線等于這邊的一半得到三角形BCG為直角三角形，根據(jù)“三線合一”得到∠CBG為30°，利用cos30°和BC的長即可求出BG，而BC的長需要過B作BM垂直于x軸，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BM及AM，表示出CM，在直角三角形BMC中，根據(jù)勾股定理表示出BC的長即可．

解答：解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；

（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

OE

OA

，
則OE=

3

，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-

3

），A（1，0），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標(biāo)代入得：

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
所以直線AE的解析式為y=

3

x-

3

；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
則EF與EA所在的直線重合，∴點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，
又F為BC中點(diǎn)，∴A為OC中點(diǎn)，又AO=1，則OC=2，
∴當(dāng)C的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，EF∥OB；
這時(shí)直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直線BO與⊙F相切；

（4）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
由點(diǎn)B，點(diǎn)C及點(diǎn)G在圓F的圓周上得：FB=FC=FG，即FG=

1

2

BC，
∴△CBG為直角三角形，又△BCD為等邊三角形，
∴BG為∠CBD的平分線，即∠CBG=30°，
過點(diǎn)B作x軸的垂直，交x軸于點(diǎn)M，由△OAB為等邊三角形，
∴M為OA中點(diǎn)，即MA=

1

2

，BM=

3

2

，MC=AC+AM=x+

1

2

，
在直角三角形BCM中，根據(jù)勾股定理得：
BC=

BM2+MC2

=

x2+x+1

，
∵DF垂直平分BC，∴B和C關(guān)于DF對(duì)稱，∴HC=HB，
則HC+HG=BG，此時(shí)BG最小，
在直角三角形BCG中，BG=BCcos30°=

1

2

3x2+3x+3

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)以及對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)．此題的難點(diǎn)是（3）和（4）小問，（3）重點(diǎn)要確定出點(diǎn)F的特殊位置即直線ED與BC的交點(diǎn)，把EF平行OB作為已知條件，推導(dǎo)點(diǎn)C的位置；（4）解題的關(guān)鍵是利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)找出C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)為B，進(jìn)而得到BG為所求的最小值．