Question

如圖，拋物線y=x²-x+c分別交x軸的負(fù)半軸和正半軸于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸的負(fù)軸于點(diǎn)C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且當(dāng)其中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．

（1）試說(shuō)明OB=2OA；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAC和Rt△OBC中，分別表示出∠OAC和∠OBC的正切值，根據(jù)題目給出的兩者的等量關(guān)系，即可證得所求的結(jié)論；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出A、B橫坐標(biāo)的和與積的表達(dá)式，聯(lián)立OB、OA的比例關(guān)系，即可求出A、B的坐標(biāo)及c的值，進(jìn)而可確定拋物線的解析式；
（3）由于∠PBQ＜90°，因此若△PBQ是直角三角形，應(yīng)該有兩種情況：①∠BPQ=90°；②∠PQB=90°；可分別用t表示出BP、BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)∠OBC的余弦值列方程求出t的值；
（4）可用t分別表示出BP、BQ、PQ的長(zhǎng)，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三種情況，列方程求出t的值．
解答：解：（1）由條件得：=2×
∴OB=2OA．

（2）由條件與第（1）題的結(jié)論得：-2x₁=x₂，
根據(jù)拋物線對(duì)稱軸可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
拋物線的解析式；y=x²-x-3；

（3）由條件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=x²-x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根據(jù)勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC==，
在直角三角形PBQ中，分BQ為斜邊或PB為斜邊，
可得=或=，
∴t=秒或t=秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ==，
t=6-t，
∴t=3秒
或=
∴t=秒；
或=6-t，
∴t=0（舍去），t=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系以及直角三角形、等腰三角形的判定等知識(shí)，需注意的是（3）（4）在不確定直角三角形的直角頂點(diǎn)和等腰三角形腰和底的情況下需要分類討論，以免漏解．