Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=

1

2

x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒

5

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，設(shè)線段EF的長(zhǎng)為y，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）秒，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，不需寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設(shè)同時(shí)經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的圓交AB于B，G兩點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)有EF=

5

3

PG？

Answer 1

分析：（1）由直線y=

1

2

x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，易求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，又由BC⊥AB，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，易證得HD=HB，然后由勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，繼而可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由平行線的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可證得

BP

BA

=

EF

DC

，繼而可求得y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）首先連接DG，CG，由圓周角定理，即可證得DG=CD，繼而可求得AG的長(zhǎng)，然后分別從0＜t＜5與5＜t＜6時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，
則∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO內(nèi)，tan∠BAO=

DH

HA

=

OB

AO

=

6

12

=

1

2

，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB=

OA2+OB2

=6

5

，
∴AH+BH=6

5

，
∴AH=4

5

，BH=HD=2

5

，
在Rt△ADH中，AD=

AH2+HD2

=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=

1

2

，
在Rt△CBO中，tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴

BP

BA

=

BE

BD

，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

DC

，
∴

BP

BA

=

EF

DC

，
∵AP=

5

t，
∴BP=AB-AP=6

5

-

5

t，
∴

6 5 - 5 t

6 5

=

y

5

，
∴y=-

5

6

t+5；

（3）連接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG為同時(shí)經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的圓的直徑，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD與∠GCD是

GD

所對(duì)的圓周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

52+102

=5

5

，
∴當(dāng)0＜t＜5時(shí)，PG=5

5

-

5

t，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（5

5

-

5

t），
解得：t=4；
當(dāng)5＜t＜6時(shí)，PG=

5

t-5

5

，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（

5

t-5

5

），
解得：t=

16

3

；
∴當(dāng)t=4或t=

16

3

時(shí)有EF=

5

3

PG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．