【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0, ).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GE垂直于y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)G的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0, ),
∴設(shè)拋物線的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1),
則 =a×(﹣5)×1,解得a=﹣ .
則拋物線的解析式是y=﹣ (x﹣5)(x+1)=﹣ x2+2x+
(2)
解:存在.
當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)A作AP⊥AC交拋物線于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)H,如圖.
∵AC⊥AP,OC⊥OA,
∴△OAC∽△OHA,
∴ = ,
∴OA2=OCOH,
∵OA=5,OC= ,
∴OH=10,
∴H(0,﹣10),A(5,0),
∴直線AP的解析式為y=2x﹣10,
聯(lián)立 ,
∴P的坐標(biāo)是(﹣5,﹣20).
(3)
解:∵DF⊥x軸,DE⊥y軸,
∴四邊形OFDE為矩形,
∴EF=OD,
∴EF長(zhǎng)度的最小值為OD長(zhǎng)度的最小值,
當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD長(zhǎng)度最小,
此時(shí)S△AOC= ACOD= OAOC,
∵A(5,0),C(0, ),
∴AC= ,
∴OD= ,
∵DE⊥y軸,OD⊥AC,
∴△ODE∽△OCD,
∴ = ,
∴OD2=OECO,
∵CO= ,OD= ,
∴OE=2,
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2,
∴y=﹣ x2+2x+ =2,
解得x1=2﹣ ,x2=2+ ,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2﹣ ,2)或(2+ ,2).
【解析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式;(2)以A為直角頂點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)連接OD,易得四邊形OFDE是矩形,則OD=EF,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD(即EF)最短,然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo),就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo),就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P與點(diǎn) Q 都在y軸上,且關(guān)于x軸對(duì)稱.
(1)請(qǐng)畫出△ABP 關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形 (其中點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)用 表示,點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)用 表示);
(2)點(diǎn)P ,Q 同時(shí)都從y軸上的位置出發(fā),分別沿l1,l2方向,以相同的速度向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否在某個(gè)位置使得 成立?若存在,請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí) PQ 的位置(用線段 表示),若不存在,請(qǐng)你說(shuō)明理由(注:畫圖時(shí),先用鉛筆畫好,再用鋼筆描黑).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB的中點(diǎn),F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn),連結(jié)CE、DF.求證:CE=DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn),連接PA,將線段PA繞 點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,在直線BA上取點(diǎn)F,使BF=BP,且點(diǎn)F與點(diǎn)E在BC同側(cè),連接EF、CF.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí),求證:四邊形PCFE是平行四邊形.
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),四邊形PCFE是否還是平行四邊形,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】節(jié)能電動(dòng)車越來(lái)越受到人們的喜歡,新開發(fā)的各種品牌電動(dòng)車相繼投入市場(chǎng).小李車行經(jīng)營(yíng)的A型節(jié)能電動(dòng)車2015年銷售總額為m萬(wàn)元,2016年每輛A型節(jié)能電動(dòng)車的銷售價(jià)比2015年降低2000年,若2015年和2016年賣出的節(jié)能電動(dòng)車的數(shù)量相同(同一型號(hào)的節(jié)能電動(dòng)車每輛的銷售價(jià)格相同),則2016年的銷售總額比2015年減少20%.
(1)2016年A型節(jié)能電動(dòng)車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元?(用列方程方法解答)
(2)小李車行計(jì)劃端午節(jié)后新購(gòu)進(jìn)一批A型節(jié)能電動(dòng)車和新型B型節(jié)能電動(dòng)車,每購(gòu)進(jìn)3輛節(jié)能電動(dòng)車,批發(fā)商就給車行返回1500元.若新款B型節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨數(shù)量是A型節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨數(shù)量的2倍,全部銷售獲得的利潤(rùn)不少于18萬(wàn)元,且2016年A,B兩種型號(hào)節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表,那么2016年新款B型節(jié)能電動(dòng)車至少要購(gòu)進(jìn)多少輛?
A型節(jié)能電動(dòng)車 | B型節(jié)能電動(dòng)車 | |
進(jìn)貨價(jià)格(萬(wàn)元/輛) | 0.55 | 0.7 |
銷售價(jià)格(萬(wàn)元/輛) | 2016年的銷售價(jià)格 | 2 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,-2),(3,1),(0,2),若把三角形ABC向上平移 3 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到三角形 ,點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 ,,.
(1)寫出點(diǎn) ,, 的坐標(biāo);
(2)在圖中畫出平移后的三角形 ;
(3)三角形 的面積為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,﹣3),則一次函數(shù)y=kx﹣k(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)象限.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下列解題過(guò)程,然后回答問(wèn)題:
解方程:
解:①當(dāng)≥0時(shí),原方程可化為: ,解得;
②當(dāng)<0時(shí),原方程可化為: ,解得;
所以原方程的解是或
(1)解方程:
(2)探究:當(dāng)為何值時(shí),方程 ①無(wú)解;②只有一個(gè)解;③有兩個(gè)解。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點(diǎn)D,E為BC邊的中點(diǎn),連接DE,OE.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)填空: ①當(dāng)∠CAB=時(shí),四邊形AOED是平行四邊形;
②連接OD,在①的條件下探索四邊形OBED的形狀為 .
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