【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0, ).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GE垂直于y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)G的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0, ),

∴設(shè)拋物線的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1),

=a×(﹣5)×1,解得a=﹣

則拋物線的解析式是y=﹣ (x﹣5)(x+1)=﹣ x2+2x+


(2)

解:存在.

當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò)A作AP⊥AC交拋物線于點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)H,如圖.

∵AC⊥AP,OC⊥OA,

∴△OAC∽△OHA,

= ,

∴OA2=OCOH,

∵OA=5,OC= ,

∴OH=10,

∴H(0,﹣10),A(5,0),

∴直線AP的解析式為y=2x﹣10,

聯(lián)立

∴P的坐標(biāo)是(﹣5,﹣20).


(3)

解:∵DF⊥x軸,DE⊥y軸,

∴四邊形OFDE為矩形,

∴EF=OD,

∴EF長(zhǎng)度的最小值為OD長(zhǎng)度的最小值,

當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD長(zhǎng)度最小,

此時(shí)SAOC= ACOD= OAOC,

∵A(5,0),C(0, ),

∴AC= ,

∴OD=

∵DE⊥y軸,OD⊥AC,

∴△ODE∽△OCD,

= ,

∴OD2=OECO,

∵CO= ,OD= ,

∴OE=2,

∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2,

∴y=﹣ x2+2x+ =2,

解得x1=2﹣ ,x2=2+ ,

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2﹣ ,2)或(2+ ,2).


【解析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式;(2)以A為直角頂點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)連接OD,易得四邊形OFDE是矩形,則OD=EF,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD(即EF)最短,然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo),就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo),就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2)點(diǎn)P ,Q 同時(shí)都從y軸上的位置出發(fā),分別沿l1,l2方向,以相同的速度向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否在某個(gè)位置使得 成立?若存在,請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí) PQ 的位置(用線段 表示),若不存在,請(qǐng)你說(shuō)明理由(注:畫圖時(shí),先用鉛筆畫好,再用鋼筆描黑).

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(1)2016年A型節(jié)能電動(dòng)車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元?(用列方程方法解答)
(2)小李車行計(jì)劃端午節(jié)后新購(gòu)進(jìn)一批A型節(jié)能電動(dòng)車和新型B型節(jié)能電動(dòng)車,每購(gòu)進(jìn)3輛節(jié)能電動(dòng)車,批發(fā)商就給車行返回1500元.若新款B型節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨數(shù)量是A型節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨數(shù)量的2倍,全部銷售獲得的利潤(rùn)不少于18萬(wàn)元,且2016年A,B兩種型號(hào)節(jié)能電動(dòng)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表,那么2016年新款B型節(jié)能電動(dòng)車至少要購(gòu)進(jìn)多少輛?

A型節(jié)能電動(dòng)車

B型節(jié)能電動(dòng)車

進(jìn)貨價(jià)格(萬(wàn)元/輛)

0.55

0.7

銷售價(jià)格(萬(wàn)元/輛)

2016年的銷售價(jià)格

2

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