Question

【題目】如圖，直角坐標系中，點B（a，0），點C（0，b），點A在第一象限．若a，b滿足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．

（1）證明：OB=OC.

（2）如圖1，連接AB，過A作AD⊥AB交y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F是CE的中點，連接AF，OA，當點A在第一象限內(nèi)運動（AD不過點C）時，證明：∠OAF的大小不變.

（3）如圖2，B′與B關于y軸對稱，M在線段BC上，N在CB′的延長線上，且BM=NB′，連接MN交x軸于點T，過T作TQ⊥MN交y軸于點Q，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）Q（0，-t）.

【解析】

（1）利用平方和絕對值的非負數(shù)性質即可用t表示出a、b，即可得B、C坐標，進而可得答案；（2）如圖，延長AF到點P，使PF=AF；連接CP、OP、OF，利用SAS可證明△AEF≌△PCF，可得AE=PC=AB，∠AEF=∠PCF，AE∥PC，由平行線的性質可得∠PCO=∠CDA=180-∠ADO，利用四邊形內(nèi)角和可得∠ABO=180-∠ADO，即可證明∠PCO=∠ABO，利用SAS可證明△PCO≌△ABO，可得OP=OA，∠POC=∠AOB，利用角的和差關系可得∠AOP=∠BOC=90°，即可證明△AOP為等腰直角三角形，可得∠OAF=45°，是定值；（3）過N作NP∥MB，交x軸于P；連接NQ、MQ、BQ、B′Q，由軸對稱性質可得BB′=2OB，BC=B′C，可得△BCB′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質及平行線的性質可得∠B′PN=∠PB′N，即可證明NP=NB′=MB，利用AAS可證明△PTN≌△BTM，可得NT=MT，利用SSS可證明△BQM≌△B′QN，可得∠NB′Q=∠MBQ，利用SAS可證明△BCQ≌△B′CQ，可得△OBQ為等腰直角三角形，可得OQ=OB，即可求出Q點坐標.

（1）∵(a-t)≥0，|b-t|≥0，

∴a-t=0，b-t=0，

解得：a=t，b=t

∴B（t，0）、C（0，t）

∴OB=OC

（2）如圖，延長AF到點P，使PF=AF；連接CP、OP、OF，

在△AEF和△PCF中，

∴△AEF≌△PCF，

∴AE=PC=AB，∠AEF=∠PCF

∴AE∥PC，∠PCO=∠CDA=180-∠ADO

四邊形ABOD中，∠ABO=360-∠BOD-∠BAD-∠ADO，

∵∠BOD=90°，AD⊥AB，

∴∠ABO=180-∠ADO，

∴∠PCO=∠ABO

在△PCO和△ABO中，

∴△PCO≌△ABO，

∴OP=OA，∠POC=∠AOB

∴∠AOP=∠BOC-∠AOB+∠POC=∠BOC=90°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴∠OAF=45°，是定值，不發(fā)生改變.

（3）過N作NP∥MB，交X軸于P；連接NQ、MQ、BQ、B′Q，

由（1）得△BOC是等腰直角三角形

∵B、B′關于y軸對稱，

∴BB′=2OB，BC=B′C，

∴△BCB′是等腰直角三角形，∠BB′C=∠B′BC=45°，

∵NP∥MB，

∴∠B′PN=∠B′BC=45°，

∵∠PB′N=∠BB′C=45°，

∴∠B′PN=∠PB′N，

∴NP=NB′=MB

在△PTN和△BTM中，，

∴△PTN≌△BTM，NT=MT，T為MN中點，

∵QT⊥MN，

∴QT為MN垂直平分線，

∴MQ=NQ

∵B、B′關于y軸對稱，Q在y軸上，

∴BQ=B′Q

在△BQM≌△B′QN中，，

∴△BQM≌△B′QN（SSS），

∴∠NB′Q=∠MBQ，

在△BCQ和△B′CQ中，

∴△BCQ≌△B′CQ，

∴∠MBQ=∠CB′Q=∠NB′Q，

∵∠CB′Q+∠NB′Q=180°，

∴∠NB′Q=∠MBQ=90°，

∴∠OBQ=45°，

∴△OBQ為等腰直角三角形，

∴OQ=OB=t

∴Q(0，-t).