Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOC的直角邊OA在y軸正半軸上，且頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為（1，2），直線y＝﹣x+b過點C，與x軸交于點B，與y軸交于點D．

（1）B點的坐標為　 　，D點的坐標為　 　；

（2）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿O→A→C的路線向點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以相同速度沿BO的方向向點O運動，過點Q作QH⊥x軸，交線段BC或線段CO于點H．當點P到達點C時，點P和點Q都停止運動，在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒：

①設△CPH的面積為S，求S關于t的函數關系式；

②是否存在以Q、P、H為頂點的三角形的面積與S相等？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（0，3）；（2）①S＝ ；②存在，t＝1或時，以Q、P、H為頂點的三角形的面積與S相等．

【解析】

（1）把點C坐標代入直線求得b的值即得到直線解析式，令y＝0求點B坐標，令x＝0求點D坐標．

（2）①由Rt△AOC中∠OAC＝90°求得OA+AC＝OB＝3，即t的取值范圍為0≤t＜3且t≠2．畫圖發(fā)現有兩種情況：當0≤t＜2時，點P在線段OA上，點H在線段BC上，可證得PH∥x軸，故S＝S△CPH＝PHAP，用t表示PH、AP的值再代入即能用t表示S；當2＜t＜3時，點P在線段AC上，點H在線段OC上，此時以PC為底、點H到CP距離h為高來求S，用t表示CP、h的值再代入即能用t表示S．再把兩式統(tǒng)一寫成S關于t的分段函數關系式．

②與①類似把點P、Q的位置分兩種情況討論計算；其中P在AC上、H在OC上時，以QH為底求△QPH的面積，需對點P到QH的距離PE的表示再進行一次分類．用t表示△QPH面積后與S相等列得方程，解之求得t的值．

解：（1）∵直線y＝﹣x+b過點C（1，2）

∴﹣1+b＝2

∴b＝3，即直線為y＝﹣x+3

當y＝0時，﹣x+3＝0，得x＝3；當x＝0時，y＝3

∴B（3，0），D（0，3）

故答案為：（3，0）；（0，3）．

（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）

∴A（0，2），OA＝2，AC＝1

∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°

∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°

∴0≤t＜3，且t≠2

i）當0≤t＜2時，點P在線段OA上，點H在線段BC上，如圖1

∴OP＝BQ＝t

∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t

∵HQ⊥x軸于點Q

∴∠BQH＝90°

∴△BQH是等腰直角三角形

∴HQ＝BQ＝t

∴HQ∥OP且HQ＝OP

∴四邊形OPHQ是平行四邊形

∴PH∥x軸，PH＝OQ＝3﹣t

∴S＝S△CPH＝PHAP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3

ii）當2＜t＜3時，點P在線段AC上，點H在線段OC上，如圖2

∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，xH＝OQ＝3﹣t

∵直線OC解析式為：y＝2x

∴QH＝yH＝2（3﹣t）＝6﹣2t

∴點H到CP的距離h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4

∴S＝S△CPH＝CPh＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣6

綜上所述，S關于t的函數關系式為S＝

②存在以Q、P、H為頂點的三角形的面積與S相等．

i）當0≤t＜2時，如圖3

∵S△CPH＝S△QPH，兩三角形有公共底邊為PH

∴點C和點Q到PH距離相等，即AP＝OP

∴t＝2﹣t

∴t＝1

ii）當2＜t≤2.5時，如圖4，延長QH交AC于點E

∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t

∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t

∴S△QPH＝QHPE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15

∵S△CPH＝S△QPH

∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15

解得：t1＝3（舍去），t2＝

iii）當2.5＜t＜3時，如圖5，延長QH交AC于點E

∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5

∴S△QPH＝QHPE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15

∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15

解得：t1＝t2＝3（舍去）

綜上所述，t＝1或時，以Q、P、H為頂點的三角形的面積與S相等．