Question

“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形的短直角邊的長為1．這直角三角形都用很細(xì)的金屬絲圍成，飛鏢不會(huì)扎在這些金屬絲上．小明同學(xué)距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區(qū)域的概率是

1

5

．
（1）求直角三角形的長直角邊的長；
（2）連續(xù)以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，求投中位置為一黑一白的概率．（請(qǐng)結(jié)合樹狀圖或列表加以解答）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何概率的意義，表示出小正方形的面積，再求出大正方形的面積，根據(jù)投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區(qū)域的概率是

1

5

，即可得出長直角邊的值；
（2）根據(jù)投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區(qū)域的概率是

1

5

，可以列出圖表得出連續(xù)以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，投中位置為一黑一白的概率．

解答：（1）解：∵“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．其直角三角形的短直角邊的長為1，
∴設(shè)長的直角邊為x，則小正方形的面積為（x-1）²，
∴陰影部分面積為：（x-1）²，
∵投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區(qū)域的概率是

1

5

，
∴大正方形面積為：（1+x ²），
∴5（x-1）²=1+x ²，
解得：x₁=0.5（不合題意舍去），x₂=2，
∴直角三角形的長直角邊的長為：2；

（2）根據(jù)題意得出，如圖所示：

	黑	白	白	白	白
黑	黑黑	黑白	黑白	黑白	黑白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白

∴連續(xù)以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，投中位置為一黑一白的概率為：

8

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何概率的求法以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將求出大正方形的面積進(jìn)而求出另一直角邊的長是解決問題的關(guān)鍵．