Question

【題目】如圖，四邊形ABCD 內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AE交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．

（1）求證：AE⊥CD；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5cm.

【解析】試題分析：（1）連接OA，因為點A在⊙O上，所以只要證明OA⊥AE即可；由同圓的半徑相等得：OA=OD，則∠ODA=∠OAD，根據角平分線可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，則AE是⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，證明四邊形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂徑定理得：DF=3，根據勾股定理求半徑OD的長．

試題解析：

（1）連結OA，∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ODA=∠EDA，

∴∠OAD=∠EDA，

∴EC∥OA，

∵AE⊥CD，

∴OA⊥AE，

∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四邊形AOFE是矩形，

∴OF=AE=4cm，

又∵OF⊥CD，

∴DF=CD=3cm，

在Rt△ODF中，OD==5cm，

即⊙O的半徑為5cm．