【題目】如圖,在四邊形ABCD中,M,N分別是CD,BC的中點,且AM⊥CD,AN⊥BC。
(1)求證:∠BAD=2∠MAN;
(2)連接BD,若∠MAN=70°,∠DBC=40°,求∠ADC。
【答案】(1)證明見解析;(2)50°
【解析】
(1)首先連接AC,根據(jù)AM⊥CD,AN⊥BC,判斷出AM、AN分別是CD、BC的垂直平分線,得到AC=AD,AB=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠DAM=∠CAM,∠BAN=∠CAN,然后根據(jù)角的和差即可得出結論;
(2)由∠MAN=70°,得出∠BAD的度數(shù).由四邊形ANCM內(nèi)角和等于360°,得到∠BCD的度數(shù).在△BCD中,由三角形內(nèi)角和定理得到∠BDC的度數(shù).在△ABD中,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得出∠ADB的度數(shù),根據(jù)角的和差即可得出結論.
(1)如圖,連接AC.
∵M、N分別是CD、BC的中點,且AM⊥CD,AN⊥BC,∴AM、AN分別是CD、BC的垂直平分線,∴AC=AD,AB=AC.
∵AM⊥CD,AN⊥BC,∴∠DAM=∠CAM,∠BAN=∠CAN,∴∠DAC+∠BAC=2∠CAM+2∠CAN,∴∠BAD=2∠MAN;
(2)∵∠MAN=70°,∴∠BAD=2∠MAN=140°.
∵AM⊥CD,AN⊥BC,∴∠BCD=180°-∠MAN=180°-70°=110°.
∵∠DBC=40°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-40°-110°=30°.
∵AB=AC=AD,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠BAD=140°,∴∠ABD=∠ADB=20°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=20°+30°=50°.
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【題目】在等邊三角形ABC中,點F是線段AC上一點,點E是線段BC上一點,BF與AE交于點H,∠BAE=∠FBC,AG⊥BF,∠GAF:∠BEA=1:10,則∠BAE=_____°.
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【題目】如圖,AB、CD交于點O,∠AOE=4∠DOE,∠AOE的余角比∠DOE小10°(題中所說的角均是小于平角的角).
(1)求∠AOE的度數(shù);
(2)請寫出∠AOC在圖中的所有補角;
(3)從點O向直線AB的右側引出一條射線OP,當∠COP=∠AOE+∠DOP時,求∠BOP的度數(shù).
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【題目】如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
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【題目】某探測隊在地面A、B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象,已知探測線與地面的夾角分別是25°和60°,且AB=4米,求該生命跡象所在位置C的深度.(結果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5, ≈1.7)
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點E,交BC于點D,過點E做直線l∥BC.
(1)判斷直線l與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長.
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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的最大公里數(shù)(單位:km/L),如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況,下列敘述正確的是( )
A.當行駛速度為40km/h時,每消耗1升汽油,甲車能行駛20km
B.消耗1升汽油,丙車最多可行駛5km
C.當行駛速度為80km/h時,每消耗1升汽油,乙車和丙車行駛的最大公里數(shù)相同
D.當行駛速度為60km/h時,若行駛相同的路程,丙車消耗的汽油最少
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【題目】下列說法中正確的是( )
A. 若|a|=﹣a,則 a 一 定是負數(shù)
B. 單項式 x3y2z 的系數(shù)為 1,次數(shù)是 6
C. 若 AP=BP,則點 P 是線段 AB 的中點
D. 若∠AOC=∠AOB,則射線 OC 是∠AOB 的平分線
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【題目】如圖,點P是∠AOB的角平分線上一點,過P作PC//OA交OB于點C.若∠AOB=30°,OC=4cm,則點P到OA的距離PD等于___________cm.
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