Question

【題目】已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線(xiàn)DE與BC邊所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線(xiàn)段DE上一定點(diǎn)（其中EP＜PD）

（1）如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H、G．

①求證：PG=PF；

②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上（不與D重合），過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線(xiàn)DA于點(diǎn)G，你認(rèn)為（1）中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②DG+DF=DP；（2）不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG﹣DF=DP．

【解析】

試題分析：（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證；

②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．

試題解析：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵∠PHG=∠PDF，PH=PD，∠GPH=∠FPD，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；

②結(jié)論：DG+DF=DP，由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；

（2）不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG﹣DF=DP，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥PD交射線(xiàn)DA于點(diǎn)H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∠GPH=∠FPD，∠GHP=∠FDP，PH=PD，∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．