Question

若x₁、x₂是關(guān)于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x₁＋x₂＝，x₁•x₂＝．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個交點(diǎn)間的距離為：AB＝|x₁－x₂|＝

。

參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：

設(shè)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A(x₁，0)，B(x₂，0)，拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．

(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b²－4ac的值；

(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b²－4ac的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）12

【解析】解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，

過C作CE⊥AB于E，

則AB＝2CE。

∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，△＝b²－4ac＞0，

則|b²－4ac|＝b²－4ac。

∵a＞0，∴AB。

又∵CE，∴。

∴，即。

∵b²－4ac＞0，∴b²－4ac＝4。

（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，由(1)可知CE＝AB，

∴。

∵b²－4ac＞0，∴b²－4ac＝12。

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，由于AC＝BC，所以△ABC為等腰直角三角形，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．根據(jù)本題定理和結(jié)論，得到AB，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值。

（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，解直角△ACE，得CE＝AB，據(jù)此列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值。