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(2013•蘭州一模)若x1,x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根,則方程的兩個根x1,x2和系數a,b,c有如下關系:x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
,把它們稱為一元二次方程根與系數關系定理,請利用此定理解答一下問題:
已知x1,x2是一員二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的兩個實數根.
(1)是否存在實數m,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出m的值,若不存在,請你說明理由;
(2)若|x1-x2|=
3
,求m的值和此時方程的兩根.
分析:(1)先根據根的判別式得到m的取值范圍為m≥0且m≠3,再根據根與系數的關系得x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3
,然后利用-x1+x1x2=4+x2
m
m-3
=4-
2m
m-3
,再解關于m的方程即可;
(2)先利用完全平方公式變形得到(x1-x22=3,即(x1+x22-4x1x2=3,再把x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3
代入得到(-
2m
m-3
2-4×
m
m-3
=3,解得m1=1,m2=9,
然后分別把m的值代入原方程,并且利用公式法解方程.
解答:解:(1)存在.
∵x1,x2是一元二次方程(m-3)x2+2mx+m=0的兩個實數根,
∴m-3≠0且△=4m2-4(m-3)•m≥0,
∴m的取值范圍為m≥0且m≠3,
根據根與系數的關系得x1+x2=-
2m
m-3
,x1•x2=
m
m-3
,
∵-x1+x1x2=4+x2,
∴x1x2=4+x1+x2
m
m-3
=4-
2m
m-3
,
∴m=12;

(2)∵|x1-x2|=
3
,
∴(x1-x22=3,即(x1+x22-4x1x2=3,
∴(-
2m
m-3
2-4×
m
m-3
=3,解得m1=1,m2=9,
當m=1時,原方程變形為2x2-2x-1=0,解得x1=
1+
3
2
,x2=
1-
3
2
;
當m=9時,原方程變形為2x2+6x+3=0,解得x1=
-3+
3
2
,x2=
-3-
3
2
點評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系:若方程兩個為x1,x2,則x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.也考查了一元二次方程根的判別式.
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