Question

已知拋物線的頂點(diǎn)（－1，－4）且過(guò)點(diǎn)（0，－3），直線l是它的對(duì)稱軸。

（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MBC是等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（2） （3）

試題分析：（1）拋物線的頂點(diǎn)（－1，－4），則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為，因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)（0，－3），所以，解得a=1，所以拋物線的解析式
（2）由（1）知拋物線的解析式
∵直線l是它的對(duì)稱軸
∴它的對(duì)稱軸x=-1
拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），令y=0,則，解得x=-3,x=1，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)（-3，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0）；拋物線交y軸于點(diǎn)C，令x=0,則，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-3）；P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的周長(zhǎng)=PB+PC+BC，因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，所以要使△PBC的周長(zhǎng)最小，即PB+PC最小，作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，坐標(biāo)為（-3，0），即是A點(diǎn)，設(shè)過(guò)A、C的直線為y=kx+b,則
解得，所以過(guò)點(diǎn)A、C的直線為y=x-3,則P點(diǎn)即為直線為y=x-3與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，解得
（3）存在，）直線l為x=-1,它與X軸的交點(diǎn)為N（-1，0），由（2）知B點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0），所以它們兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)這三點(diǎn)構(gòu)成了等腰三角形，M點(diǎn)即為對(duì)稱軸與X軸的交點(diǎn)，所以M的坐標(biāo)（-1，0）；當(dāng)△MBC是等腰三角形，并以BC為△MBC的底邊，設(shè)M的坐標(biāo)為（-1，y）;此時(shí)需滿足MB=MC，而MB=，MC=，解得y=-1,y=,所以，當(dāng)y=-1時(shí)M的坐標(biāo)為，當(dāng)y=，M的坐標(biāo)為；綜上所述滿足條件的M的坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，要求考生掌握拋物線的性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會(huì)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及對(duì)稱軸