Question

【題目】如圖，雙曲線y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，4），直線y＝x與雙曲線交于B點(diǎn)，過(guò)A，B分別作y軸、x軸的垂線，兩線交于P點(diǎn)，垂足分別為C，D．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）求證：△ABP∽△BOD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；

【解析】

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而求出OD，BD，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A（，4）在雙曲線y＝上，

∴k＝×4＝2，

∴雙曲線的解析式為y=；

（2）如圖，

由（1）知，雙曲線的解析式為y＝①，

直線OB的解析式為y＝x②，

連接①②解得，或（舍去），

∴B（2，1），

∴BD＝1，OD＝2，

∵CP⊥y軸，PD⊥x軸，

∴∠OCP＝∠ODP＝90°＝∠COD，

∴四邊形OCPD是矩形，

∴∠ODB＝∠P＝90°，

CP＝OD＝2，PD＝OC，

∵A（，4），

∴OC＝4，CA＝，

∴AP＝CP﹣AC＝，BP＝PD﹣1＝3，

∴，

∴，

∵∠P＝∠ODB＝90°，

∴△ABP∽△BOD．