Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸交于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的直線l交拋物線于點(diǎn)C（3，﹣1）．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．點(diǎn)P為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接OE，求△POE面積的最大值；

（3）連接DE，CF，是否存在這樣的t值：以點(diǎn)C，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在這樣的t值：以點(diǎn)C，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用解方程組求得系數(shù)的值即可；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得S△POE=t（t-2）=（t-3）2-，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案；

（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得答案．

（1）把A（﹣1，0），C（3，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣2，得

．

解得．

則該拋物線的解析式為；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為，則B（0，﹣2）．

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+d（k≠0）．

把B（0，﹣2）、C（3，﹣1）代入，得．

解得．

故直線BC的解析式為 ．

∴E（t，t﹣2）

∴S△POE＝t（t-2）=（t-3）2-．

∴△POE面積的最大值是；

（3）存在這樣的t值．

理由：E（t，），F（t，）．

若以點(diǎn)C，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則EF＝CD＝1，

即﹣（）﹣（2﹣t）＝1．

整理得：7t2﹣21t+12＝0．

∵△＝（﹣21）2﹣4×7×12＞0，

∴方程7t2﹣21t+12＝0有解．

∴存在這樣的t值：以點(diǎn)C，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．