【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為 ?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵OA:OB=1:5,OB=OC,
設(shè)OA=m,則OB=OC=5m,AB=6m,
由S△ABC= AB×OC=15,得 ×6m×5m=15,解得m=1(舍去負值),
∴A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣5),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將C點坐標(biāo)代入,得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x﹣5),
即y=x2﹣4x﹣5
(2)
解:設(shè)E點坐標(biāo)為(n,n2﹣4n﹣5),拋物線對稱軸為x=2,
由2(n﹣2)=EF,得2(n﹣2)=﹣(n2﹣4n﹣5)或2(n﹣2)=n2﹣4n﹣5,
解得n=1± 或n=3± ,
∵n>0,
∴n=1+ 或n=3+ ,
邊長EF=2(n﹣2)=2 ﹣2或2 +2
(3)
解:存在.
由(1)可知OB=OC=5,
∴△OBC為等腰直角三角形,即B(5,0),C(0,﹣5),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,將B與C代入得: ,
解得: ,
則直線BC解析式為y=x﹣5,
依題意△MBC中BC邊上的高為 ,
∴直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ,
聯(lián)立 , ,
解得 或 ,
∴M點的坐標(biāo)為(﹣2,7),(7,16).
【解析】(1)由已知設(shè)OA=m,則OB=OC=5m,AB=6m,由S△ABC= AB×OC=15,可求m的值,確定A、B、C三點坐標(biāo),由A、B兩點坐標(biāo)設(shè)拋物線交點式,將C點坐標(biāo)代入即可;(2)設(shè)E點坐標(biāo)為(m,m2﹣4m﹣5),拋物線對稱軸為x=2,根據(jù)2|m﹣2|=EF,列方程求解;(3)存在.因為OB=OC=5,△OBC為等腰直角三角形,直線BC解析式為y=x﹣5,則直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ,將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立,求M點的坐標(biāo)即可.
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對數(shù)軸上的點P進行如下操作:先把點P表示的數(shù)乘以,再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單位,得到點P的對應(yīng)點P′,點A,B在數(shù)軸上,對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′,其中點A,B的對應(yīng)點分別為A′,B′,如圖,若點A表示的數(shù)是﹣3,則點A′表示的數(shù)是__;若點B′表示的數(shù)是2,則點B表示的數(shù)是__.已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點E′與點E重合,則點E表示的數(shù)是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一副三角板如圖1擺放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,點F在BC上,點A在DF上,且AF平分∠CAB,現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)).
(1)當(dāng)∠AFD=_ __時,DF∥AC;當(dāng)∠AFD=__ _時,DF⊥AB;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,DF與AB的交點記為P,如圖2,若AFP有兩個內(nèi)角相等,求∠APD的度數(shù);
(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時,如圖3,若∠AFM=2∠BMN,比較∠FMN與∠FNM的大小,并說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,P是CD邊上一點,且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,則△APB的周長是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)[x]表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5,n為整數(shù)),則[]+[]+[]+…+[]=( )
A. 132 B. 146 C. 161 D. 666
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B.若反比例函數(shù)y= 的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C,S△ABO=16,tan∠BAO=2,則k的值為( )
A.20
B.22
C.24
D.26
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