Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中點(diǎn)，CN⊥AM，垂足是N，求證：AB•BM=AM•BN．

Answer 1

分析：根據(jù)在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中點(diǎn)，CN⊥AM，得出△MNC∽△MCA，再證明△MBN∽△MAB，利用對應(yīng)邊成比例即可解題．

解答：證明：在Rt△ACM中，CN⊥AM，
∴∠CMN=∠AMC，∠MNC=∠MCA=90°
∴△MNC∽△MCA，
∴

MN

MC

=

CM

MA

，
∴MC²=MN•MA，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)
∴BM=CM，
∴BM²=MN•MA，

MN

BM

=

BM

MA

，
又∵∠BMN=∠AMB，
∴△MBN∽△MAB，
∴

BM

AM

=

BN

AB

，
∴AB•BM=AM•BN．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解與掌握，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．