Question

【題目】△中， ．取邊的中點，作⊥于點，取的中點，連接， 交于點．

（1）如圖1，如果，求證： ⊥并求的值；

（2）如圖2，如果，求證： ⊥并用含的式子表示.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C，∠BAD=∠BAC，AD⊥BC，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠ADE=∠C．易證△ADB∽△DEC，可得ADCE=BDDE．由此可得ADCE=BC2DF=BCDF，即，由此可證到△AFD∽△BEC，則有，在Rt△ADB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可得tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=，從而可得=tan（90°-∠BAC）．由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°．利用以上結(jié)論即可解決題中的兩個問題．

試題解析：如圖1，連接AD，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴，
即ADCE=BDDE．
∵點D是BC的中點，點F是DE的中點，
∴BD=BC，DE=2DF，
∴ADCE═BC2DF=BCDF，
∴，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°-∠BAC，BD=BC，
∴tan∠ABD=tan（90°-∠BAC）=，
∴=tan（90°-∠BAC）．
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE．
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°，
（1）如圖1，

根據(jù)以上結(jié)論可得：
∠AHB=90°，=tan（90°-×90°）=；
∴AF⊥BE， =；
（2）如圖2，

根據(jù)以上結(jié)論可得：∠AHB=90°，=tan（90°-α）；
∴AF⊥BE， =tan（90°-α）．