Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似
（2）存在，當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是

解：如圖，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據(jù)勾股定理，得=5cm．
（1）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，，即，
解得t=；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，，即，
解得t=0（不合題意，舍去）；
綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（2）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H．則PH∥AC，
∴，即，
∴PH=t，
∴S=S_△ABC-S_△BPH，
=×3×4-×（3-t）•t，
=（t-）²+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
當(dāng)t=時(shí)，S_最小值=．
答：當(dāng)t=時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．