【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個動點(diǎn),連接CA,CD,PD,PB.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)m>0,n>0時,過點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G,連接EG,請直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動,線段EG的最小值.
【答案】(1);(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,3)、(2,3)、(5,-3)或(-2,-3);(3)線段EG的最小值為..
【解析】
(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(4,0),應(yīng)用待定系數(shù)法,求出該拋物線的解析式即可;
(2)首先根據(jù)三角形的面積的求法,求出△CAD的面積,即可求出△PDB的面積,然后求出BD=2,即可求出|n|=3,據(jù)此判斷出n=3或-3,再把它代入拋物線的解析式,求出x的值是多少,即可判斷出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)首先應(yīng)用待定系數(shù)法,求出BC所在的直線的解析式,然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,n),求出點(diǎn)F的坐標(biāo),再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法,求出EG2的最小值,即可求出線段EG的最小值.
解:(1)把A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2中,可得
,
解得:,
∴拋物線的解析式為:;
(2))∵拋物線的解析式為,
當(dāng)x=0時,y=2,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2),
∵點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)D(2,0),
∴AD=2-(-1)=3,
∴S△CAD =,
∴S△PDB =3,
∵點(diǎn)B(4,0)、點(diǎn)D(2,0),
∴BD=2,
∴|n|=3×2÷2=3,
∴n=3或-3,
①當(dāng)n=3時,
,
解得:m=1或m=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,3)或(2,3);
②當(dāng)n=-3時,
解得m=5或m=-2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,-3)或(-2,-3);
綜上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,3)、(2,3)、(5,-3)或(-2,-3);
(3)如圖,
設(shè)BC所在的直線的解析式是:y=mx+n,
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,0),
∴,
解得:,
∴BC所在的直線的解析式是:,
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,n),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(4-2n,n),
∴
,
∴當(dāng)時,線段EG有最小值:,
∴線段EG的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與軸交于與與直線交于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)是拋物線上(軸下方)的一個動點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)試判斷在點(diǎn)運(yùn)動過程中,以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形,若能,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)如圖2,點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在拋物線上之間運(yùn)動時,連接交于點(diǎn)連接并延長交于點(diǎn)猜想在點(diǎn)的運(yùn)動過程中,的和是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的邊,點(diǎn),在邊存在點(diǎn),使得為“智慧三角形”,則點(diǎn)的坐標(biāo)為:______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)A(1,2),且與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),AD垂直平分OB,垂足為D,
求:(1)直線、雙曲線的解析式.
(2)線段BC的長;
(3)三角形BOC的內(nèi)心到三邊的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在線段AD及其延長線上,且DE=DF,給出下列條件:①BE⊥EC;②AB=AC;③BF∥EC;從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形,你認(rèn)為這個條件是_______(只填寫序號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上,如圖2,△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn).
(1)證明:BE=CD
(2)當(dāng)AC=ED時,探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在這樣的旋轉(zhuǎn)角α,使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出角α的度數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春節(jié)期間,甲、乙兩家水果店以同樣的價格銷售同一種水果,它們的優(yōu)惠方案分別為:甲水果店,一次性購水果超過元,超過部分打七折;乙水果店,一次性購水果超過元,超過部分打五折,設(shè)水果售價為(單位:元),在甲.乙兩家水果店購水果應(yīng)付金額為(單位:元),(單位:元),與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求甲水果店購水果應(yīng)付金額與水果售價之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求交點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)圖象,請直接寫出春節(jié)期間選擇哪家水果店購水果更優(yōu)惠.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知水銀體溫計(jì)的讀數(shù)y(℃)與水銀柱的長度x(cm)之間是一次函數(shù)關(guān)系.現(xiàn)有一支水銀體溫計(jì),其部分刻度線不清晰(如圖),表中記錄的是該體溫計(jì)部分清晰刻度線及其對應(yīng)水銀柱的長度.
水銀柱的長度x(cm) | 4.2 | … | 8.2 | 9.8 |
體溫計(jì)的讀數(shù)y(℃) | 35.0 | … | 40.0 | 42.0 |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出函數(shù)的定義域)
(2)用該體溫計(jì)測體溫時,水銀柱的長度為6.6cm,求此時體溫計(jì)的讀數(shù).
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