【題目】定義:有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形,這兩個角的夾邊稱為鄰余線.
(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E,F分別是BD,AD上的點.求證:四邊形ABEF是鄰余四邊形.
(2)如圖2,在(1)的條件下,取EF中點M,連結(jié)DM并延長交AB于點Q,延長EF交AC于點N.若N為AC的中點,DE=2BE,QB=3,求鄰余線AB的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)10.
【解析】
(1)由等腰三角形的三線合一定理先證AD⊥BC,再證∠DAB+∠DBA=90°,由鄰余四邊形定義即可判定;
(2)由等腰三角形的三線合一定理先證BD=CD,推出CE=5BE,再證明△DBQ∽△ECN,推出,即可求出NC,AC,AB的長度.
解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠FAB與∠EBA互余,
∴四邊形ABEF是鄰余四邊形;
(2)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,
∴BD=CD,
∵DE=2BE,
∴BD=CD=3BE,
∴CE=CD+DE=5BE,
∵∠EDF=90°,點M是EF的中點,
∴DM=ME,
∴∠MDE=∠MED,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴△DBQ∽△ECN,
∴,
∵QB=3,
∴NC=5,
∵AN=CN,
∴AC=2CN=10,
∴AB=AC=10.
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【題目】已知函數(shù) y1 kx ax a 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(點 A 在點 B 的左側(cè)),已知函數(shù)y2 kx bx b 的圖象與 x 軸交于 C、D 兩點(點 C 在點 D 的左側(cè)),其中 k 0, a b
(1)求證:函數(shù) y1 與 y2 的圖象交點落在一條定直線上;
(2)若 AB=CD,求 a、b和k 滿足的關(guān)系式;
(3)是否存在函數(shù) y1 與 y2 ,使得 B,C 為線段 AD 的三等分點?若存在,求的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是弦,∠B=30°,延長BA到D,使∠BDC=30°.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)若AB=2,求DC的長.
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【題目】“每天鍛煉一小時,健康生活一輩子”,學校準備從小明和小亮2人中隨機選拔一人當“陽光大課間”領(lǐng)操員,體育老師設(shè)計的游戲規(guī)則是:將四張撲克牌(方塊2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如圖1,撲克牌洗勻后,如圖2背面朝上放置在桌面上.小亮和小明兩人各抽取一張撲克牌,兩張牌面數(shù)字之和為奇數(shù)時,小亮當選;否則小明當選.
(1)請用樹狀圖或列表法求出所有可能的結(jié)果;
(2)請問這個游戲規(guī)則公平嗎?并說明理由.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,點D,E分別是邊BC,AC上的動點,則DA+DE的最小值為_____.
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【題目】(12分)如圖1,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求證:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖2.
①在旋轉(zhuǎn)過程中,當∠OAG′是直角時,求α的度數(shù);
②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中,求AF′長的最大值和此時α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說明理由.
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【題目】閱讀材料:關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
tan(α±β)=
利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值.
例:tan75°=tan(45°+30°)===
根據(jù)以上閱讀材料,請選擇適當?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}:
(1)計算:sin15°;
(2)某校在開展愛國主義教育活動中,來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)士.李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度.已知李三站在離紀念碑底7米的C處,在D點測得紀念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°,DC為米,請你幫助李三求出紀念碑的高度.
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【題目】四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC平分∠DAB,AC與BD相交于點O,DE⊥AB于E點.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若AC=8,BD=6,求DE的長度.
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【題目】如圖①,△ABC與△ADE均是等腰直角三角形,直角邊AC、AD在同一條直線上,點G、H分別是斜邊DE、BC的中點,點F為BE的中點,連接GF、GH.
(1)猜想GF與GH的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;
(2)現(xiàn)將圖①中的△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)若AD=2,AC=4,將圖①中的△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周,直接寫出GH的最大值和最小值,并寫出取得最值時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
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