Question

如圖的格點(diǎn)圖中，每行（列）相鄰兩個(gè)格點(diǎn)之間都相距1個(gè)長度單位．
（1）如圖，格點(diǎn)C與格點(diǎn)A、B構(gòu)成的三角形ABC的面積是2，還有一些格點(diǎn)與格點(diǎn)A、B構(gòu)成的三角形面積也是2，請(qǐng)找出所有這樣的格點(diǎn)，并在圖上標(biāo)示出來．

（2）有些格點(diǎn)與格點(diǎn)A、B可以構(gòu)成等腰三角形ABD，請(qǐng)你找出所有這樣的格點(diǎn)D，并在圖中標(biāo)出．

（3）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有等邊三角形？如有，將它們標(biāo)示出來；
如沒有，思考：在下面的8*8格點(diǎn)圖中，是否存在以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等邊三角形，如果存在，請(qǐng)標(biāo)示出來，如果不存在，說明理由，一般地，對(duì)于任意大的格點(diǎn)圖（如100*100個(gè)點(diǎn)的格點(diǎn)圖），這個(gè)結(jié)論是否成立？

（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有以AB為腰的等腰直角三角形，有沒有以AB為底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格點(diǎn)圖中，對(duì)于任意給定的兩個(gè)格點(diǎn)，是否一定存在以這兩個(gè)格點(diǎn)所在線段為腰的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構(gòu)造方法；如果不一定有，思考：對(duì)于什么樣的兩點(diǎn)（即兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間滿足什么條件時(shí)）有．
在充分大的格點(diǎn)圖中，對(duì)于任意給定的兩個(gè)格點(diǎn)，是否一定存在以這兩個(gè)格點(diǎn)所在線段為底的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構(gòu)造方法；如果不一定有，思考：對(duì)于什么樣的兩點(diǎn)（即兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間滿足什么條件時(shí)）有．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形面積相等即可找出要求的點(diǎn)C；
（2）根據(jù)等腰三角形兩腰長相等即可得出答案；
（3）問題（2）所得到的等腰三角形中沒有等邊三角形．在8*8格點(diǎn)圖乃至任意大的格點(diǎn)圖中，都沒有格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等邊三角形．
（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有以AB為腰的等腰直角三角形，有以AB為底的等腰直角三角形．一般地，在充分大的格點(diǎn)圖中，對(duì)于任意給定的兩個(gè)格點(diǎn)，一定存在以這兩個(gè)格點(diǎn)所在線段為腰的等腰直角三角形．

解答：解：（1）C₁、C₂、C₃、C₄，如圖：

（2）D₁、D₂、D₃、D₄等7點(diǎn)，如圖：

（3）問題（2）所得到的等腰三角形中沒有等邊三角形．在8*8格點(diǎn)圖乃至任意大的格點(diǎn)圖中，都沒有格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等邊三角形．
說理方式很多，如可以將其中一個(gè)頂點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)，分析另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的奇偶性，分別給予排除；也可以將其中一個(gè)頂點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)后，分別設(shè)另兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），（c，d），證明a²+b²=c²+d²=（a-c）²+（b-d）²無整數(shù)解．
（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有以AB為腰的等腰直角三角形，有以AB為底的等腰直角三角形．
一般地，在充分大的格點(diǎn)圖中，對(duì)于任意給定的兩個(gè)格點(diǎn)，一定存在以這兩個(gè)格點(diǎn)所在線段為腰的等腰直角三角形．如果所給定兩個(gè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），（c，d），符合條件的第3個(gè)點(diǎn)有幾個(gè)，如其中一個(gè)可以是（a+d-b，b+a-c）．
在充分大的格點(diǎn)圖中，對(duì)于任意給定的兩個(gè)格點(diǎn)，不一定存在以這兩個(gè)格點(diǎn)所在線段為底的等腰直角三角形．如果所給定兩個(gè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），（c，d），只有當(dāng)a+d與b+c具有相同的奇偶性時(shí)，才存在以該兩點(diǎn)所在線段為底的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難度較大，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角定理．