Question

把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得△ABC和△DEF．然后，將△DEF的頂點(diǎn)D置于△ABC斜邊中點(diǎn)處，使△DEF繞點(diǎn)D沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)到DF過(guò)直角頂點(diǎn)C時(shí)（如圖1）此時(shí)DF與AC的交點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，試判斷∠DGB與∠DGH的關(guān)系，并給以證明；
（2）當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的角度為α（0＜α＜45°）（如圖2）時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）∠DGB=∠DGH，△ABC中，可以得到△ACD和△BCD都是等腰直角三角形，再根據(jù)三線合一定理與直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出結(jié)論．
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，可以證明△DBI≌△DCH，進(jìn)而證明△DGH≌△DGI．

解答：證明：（1）∠DGB=∠DGH．
在等腰Rt△ABC中，D是AB中點(diǎn)，
∴HD⊥AB，
∴DH=

1

2

AB=DB．
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG⊥HB，
因此∠DGB=∠DGH．

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．∠DGB=∠DGH．
連接DC，在BC上截取BI=CH，連接DI．
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH，
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB，
∴∠HDI=∠CDB=90°，
∵∠FDE=45°=∠GDI，DG公共，
∴△DGH≌△DGI，
∴∠DGB=∠DGH．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是理解特殊與一般的關(guān)系，通過(guò)特殊的圖形的證明，發(fā)現(xiàn)一般圖形中存在的結(jié)論．