Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線C1：y＝ax2+bx（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸上的點(diǎn)B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）連結(jié)AM，求S△AOM；

（3）設(shè)點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，如果△MBF與△AOM相似，求所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）S△AOM＝；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（4，0）或（，0）．

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，則∠AON＝60°，ON＝OA＝1，AN＝，故點(diǎn)A（﹣1，﹣），利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）連接AM交y軸于點(diǎn)H，求出直線AM的表達(dá)式，得到OH的長，然后根據(jù)S△AOM＝OH·（xM﹣xA）進(jìn)行計(jì)算；

（3）分兩種情況：①當(dāng)∠BMF＝150°時(shí)，可得三角形不存在，此情況舍去；②當(dāng)∠MBF＝150°時(shí)，再分△OAM∽△BMF和△OAM∽△BFM，分別利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出BF即可．

解：（1）過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AON＝60°，

∴ON＝OA＝1，AN＝，

故點(diǎn)A（﹣1，﹣），

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+；

（2）連接AM交y軸于點(diǎn)H，

∵y＝﹣x2+，

∴M（1，），

設(shè)直線AM的表達(dá)式為：y＝kx＋b（k≠0），

將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的表達(dá)式得：，

解得：

∴直線AM的表達(dá)式為：y＝x﹣，

∴OH＝，

∴S△AOM＝OH·（xM﹣xA）＝××2＝；

（3）∵A（﹣1，﹣），B（2，0），M（1，），

∴，，，

∴∠MOB＝∠MBO＝30°，

∴∠AOM＝150°，

①當(dāng)∠BMF＝150°時(shí)，∠BFM＝0°，三角形不存在，故此情況舍去；

②當(dāng)∠MBF＝150°，且△OAM∽△BMF時(shí)，

則，即，

解得：BF＝；

當(dāng)∠MBF＝150°，且△OAM∽△BFM時(shí)，

同理可得：BF＝2，

故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（，0）或（4，0）；