Question

【題目】拋物線y=ax+bx+4（a≠0）過(guò)點(diǎn)A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作CBPQ，若點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且CBPQ的面積為30，

①求點(diǎn)P坐標(biāo);

②過(guò)此二點(diǎn)的直線交y軸于F, 此直線上一動(dòng)點(diǎn)G,當(dāng)GB+最小時(shí),求點(diǎn)G坐標(biāo).

（3）如圖2，⊙O1過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為 上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N，求線段BN長(zhǎng)度的最大值

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）

【解析】

（1）把點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4解析式，即可得出拋物線的表達(dá)式；
（2）①如圖，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，可求得直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因?yàn)?/span>CBPQ的面積為30，所以S△PBC= ×(t+4t2+6t4)×5＝15，解得t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，求得直線QP的解析式為：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因?yàn)?/span>GB+

GF=GB+GR，所以當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，同理可求；
（3）先用面積法求出sin∠ACB=，tan∠ACB=，在Rt△ABE中，求得圓的直徑，因?yàn)?/span>MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因?yàn)?/span>tanN=＝，所以BN=MB，當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長(zhǎng)度最大．

(1) 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1），
∴ 解得

∴拋物線表達(dá)式為y=x﹣6x+4．

(2)①如圖，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于R，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
∵B（5，-1），C（0，4），

∴ ，解得

∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
設(shè)點(diǎn)P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），
∵CBPQ的面積為30，
∴S△PBC= ×(t+4t2+6t4)×5＝15，
解得t=2或t=3，當(dāng)t=2時(shí)，y=-4
當(dāng)t=3時(shí)，y=-5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-4）或（3，-5）；

②當(dāng)點(diǎn)P為（2，-4）時(shí)，
∵直線BC解析式為：y=-x+4，QP∥BC，
設(shè)直線QP的解析式為：y=-x+n，
將點(diǎn)P代入，得-4=-2+n，n=-2，
∴直線QP的解析式為：y=-x-2，
∴F（0，-2），∠GOR=45°，
∴GB+GF=GB+GR
當(dāng)G于F重合時(shí)，GB+GR最小，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），
同理，當(dāng)點(diǎn)P為（3，-5）時(shí)，直線QP的解析式為：y=-x-2，
同理可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-2），

(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），
∴AC= ，BC=5，
∵S△ABC=AC×BCsin∠ACB＝AB×5，
∴sin∠ACB=，tan∠ACB=，
∵AE為直徑，AB=4，
∴∠ABE=90°，
∵sin∠AEB=sin∠ACB=＝，
∴AE=2，
∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，
∴∠N=∠AEB=∠ACB，
∴tanN=＝，
∴BN=MB，
當(dāng)MB為直徑時(shí)，BN的長(zhǎng)度最大，為3．