Question

如圖，圓錐底面半徑為1cm，母線長(zhǎng)為3cm．底面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑．

Answer 1

分析：先把圓錐的側(cè)面展開(kāi)，連接AA′，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AA′，交AA′于點(diǎn)C，利用利用底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理求出弦的長(zhǎng)度即可．

解答：解：把圓錐沿過(guò)點(diǎn)A的母線展成如圖所示扇形，
連接AA′，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AA′，交AA′于點(diǎn)C，
則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為AA′（線段）．
∵圓錐底面半徑為1cm，母線長(zhǎng)為3cm，
∵OA=OA′=3cm，

ADA′

的長(zhǎng)為2π．
∴2π=

nπ•3

180

，
解得n=120°，即∠AOA′=120°，
∵OA=OA′，OD⊥AA′，
∴∠AOD=60°，AA′=2AC，
∴∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

×3=

3

2

cm，
∴AC=

OA2-OC2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
∴AA′=2AC=3

3

cm，即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是3

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，先根據(jù)題意畫(huà)出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，作出輔助線，再根據(jù)勾股定理及垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．