精英家教網(wǎng)如圖,圓錐底面半徑為r,母線長為3r,底面圓周上有一螞蟻位于A點,它從A點出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點,請你給它指出一條爬行最短的路徑,并求出最短路徑.
分析:此題的關鍵是找到這一條最短的路徑,根據(jù)兩點之間線段最短可求,利用底面周長=展開圖的弧長可求出圓心角的度數(shù),再根據(jù)勾股定理求出弦的長度.
解答:解:把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形,
則螞蟻運動的最短路程為AA′(線段).
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由此知:OA=OA′=3r,
ADA
的長即為圓錐的底面周長為2πr.
∴2πr=
nπ•3r
180
,n=120°,
即∠AOA′=120°,∠OAC=30度.
∵OA=OA′,
∴OC⊥AA′,
OC=
1
2
OA=
3
2
r

AC=
OA2-CO2
=
3
2
3
r

∴AA′=2AC=3
3
r,
即螞蟻運動的最短路程是3
3
r.
點評:此題的關鍵是找到這一條最短的路徑,并熟悉圓錐的展開圖,根據(jù)已知的條件求弦長.
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