Question

如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接CP、CA，過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D．
（1）填空：PD的長為

3

2

t

用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）填空：在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長為

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由三角形AOB是等邊三角形可以得出OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°，由PD⊥OB就可以得出∠PDO=90°，再通過解直角三角形就可以用t把PD表示出來．
（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，可得△PCE∽△BPD，利用三角形相似的性質(zhì)就可以CE和PE的值，從而可以表示出C的坐標(biāo)．
（3）在P的移動(dòng)過程中使△PCA為直角三角形分兩種情況，當(dāng)∠PCA=90°或∠PAC=90°時(shí)就可以求出相對(duì)應(yīng)的t值
（4）射出C點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式確定C的運(yùn)動(dòng)軌跡的圖象為線段，再根據(jù)條件就可以求出起點(diǎn)的坐標(biāo)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出其值．

解答：解：（1）∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，
∴∠PDO=90°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=

1

2

OP．
∵OP=t，
∴OD=

1

2

t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得
PD=

3

2

t
故答案為：

3

2

t

（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，
∴∠PEC=90°，
∵OD=

1

2

t，
∴BD=4-

1

2

t．
∵線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，
∴∠BPC=60°．
∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．
∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴

CE

PD

=

PC

PB

，

PE

BD

=

PC

PB

∴

CE

3 2 t

=

1

2

，

PE

4- 1 2 t

=

1

2

，
∴CE=

3

4

t，PE=2-

1

4

t，OE=2+

3

4

t，
∴C（2+

3

4

t，

3

4

t）．

（3）如圖（3）當(dāng)∠PCA=90度時(shí)，作CF⊥PA，
∴△PCF∽△ACF，
∴

PF

CF

=

CF

AF

，
∴CF²=PF•AF，
∵PF=2-

1

4

t，AF=4-OF=2-

3

4

t CF=

3

4

t，
∴（

3

4

t）²=（2-

1

4

t）（2-

3

4

t），
求得t=2，這時(shí)P是OA的中點(diǎn)．
如圖（2）當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，C的橫坐標(biāo)就是4，
∴2+

3

4

t=4
∴t=

8

3

（4）設(shè)C（x，y），
∴x=2+

3

4

t，y=

3

4

t，
∴y=

3

3

x-

8 3

3

，
∴C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)痕跡是一條線段（0≤t≤4）．
當(dāng)t=0時(shí)，C₁（2，0），
當(dāng)t=4時(shí)，C₂（5，

3

），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式得：C₁C₂=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用．