Question

（2013•福州質(zhì)檢）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個(gè)動點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，DF的最小值是

1.5

．

Answer 1

分析：取AC的中點(diǎn)G，連接EG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF，然后利用“邊角邊”證明△DCF和△GCE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EG，然后根據(jù)垂線段最短可得EG⊥AD時(shí)最短，再根據(jù)∠CAD=30°求解即可．

解答：解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，
∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等邊△ABC的對稱軸，
∴CD=

1

2

BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，

CE=CF ∠DCF=∠GCE CD=CG

，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短，
此時(shí)∵∠CAD=

1

2

×60°=30°，AG=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
∴EG=

1

2

AG=

1

2

×3=1.5，
∴DF=1.5．
故答案為：1.5．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．