【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,CD是⊙O的直徑,ABCD交于點(diǎn)E,點(diǎn)PCD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AP=AC,且∠B=2∠P.

(1)求證:∠B=2∠PCA.

(2)求證:PA是⊙O的切線;

(3)若點(diǎn)B位于直徑CD的下方,CD平分∠ACB,試判斷此時(shí)AEBE的大小關(guān)系,并說明由.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)AE=EB,理由詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得到∠P=ACP,根據(jù)∠B=2P,即可證明.

(2)連接OA、AD,根據(jù)圓周角定理得到,則∠ADC=2P=2ACP,可得∠ADC=60°,ACP=30°,求出∠OAP=90°,即可得到OAPA,即可證明PA是⊙O的切線;

(3) CD平分∠ACB,得到 得到=,根據(jù)垂徑定理及其推理即可得到結(jié)論.

證明:(1)AP=AC,

∴∠P=ACP,

∵∠B=2P,

∴∠B=2ACP,

(2)連接OA、AD,如圖,則∠B=ADC,

∴∠ADC=2P,

CD為直徑,

∴∠DAC=90°,

∴∠ADC=60°,C=30°,

∴△ADO為等邊三角形,

∴∠AOP=60°,

而∠P=ACP=30°,

∴∠OAP=90°,

OAPA,

PA是⊙O的切線;

(3)AE=EB.

CD平分∠ACB,

=.

根據(jù)垂徑定理的推論可知,AE=EB.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線AC-CB-BA運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AC,CB,BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3,4,5個(gè)單位.直線l從與AC重合的位置開始,以每秒個(gè)單位的速度沿CB方向移動(dòng),移動(dòng)過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)t=5秒時(shí),點(diǎn)P走過的路徑長(zhǎng)為_________;當(dāng)t=_________秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)E重合;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),連結(jié)PE,并過點(diǎn)E作AB的垂線,垂足為H. 若以C、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△EFH相似,試求線段EH的值;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在折線AC-CB-BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q.在運(yùn)動(dòng)過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC,點(diǎn)OAC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MNBCA的外角平分線CF于點(diǎn)F,ACB內(nèi)角平分線CEE

1求證:EO=FO;

2當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論;

3AC邊上存在點(diǎn)O使四邊形AECF是正方形,猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l,lx軸的交點(diǎn)為D.在直線l上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)PBC的面積為S.

①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

求證:(1)DG⊥AG;

(2)AG+CG=AB.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直角ABC中,∠ACB=90°,AC=3cmBC=4cm,AB=5cm,如果AD平分∠BAC,且ADCD,那么點(diǎn)DAB的距離為 ______cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列關(guān)于的二次三項(xiàng)式中(表示實(shí)數(shù)),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定能分解因式的是(

A. B.

C. D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在△ABC中,CDAB上的中線,且DADBDC

1)已知∠A30°,求∠ACB的度數(shù);

2)已知∠A40°,求∠ACB的度數(shù);

3)已知∠Ax°,求∠ACB的度數(shù);

4)請(qǐng)你根據(jù)解題結(jié)果歸納出一個(gè)結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合探究題

在之前的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)初步了解到,長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等,每個(gè)角都是.如圖,長(zhǎng)方形中,,為邊上一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)出發(fā),以向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

1)當(dāng)時(shí),①則線段的長(zhǎng)=______;

②當(dāng)平分時(shí),求的值;

2)若,且是以為腰的等腰三角形,求的值;

3)連接,直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱時(shí)的值.

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