Question

（1）如圖（1）已知，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E．求證：△ODE是等邊三角形；
（2）如圖（2）若∠A=60°，AB≠AC，則（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形進行證明；
（2）此題只要求得∠BOD+∠COE=120°即可．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)進行求解或構(gòu)造∠DOE所對的弧所對的圓周角，只要求得圓周角是30°即可．
解答：解：（1）∵△BAC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OD=OB=OE=OC，
∴△OBD和△OEC都是等邊三角形．
∴∠BOD=∠COE=60°．
∴∠DOE=60°．
∴△ODE是等邊三角形．

（2）結(jié)論（1）仍成立．
證明：連接CD，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°．
∴∠DOE=2∠ACD=60°．
∵OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形．
點評：解答本題的關(guān)鍵是能夠熟練運用圓周角定理及其推論求得有關(guān)角的度數(shù)．注意：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．