【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過(guò)A(8,0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作直線y=8的垂線,垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.

(1)求拋物線的解析式;

(2)猜想并探究:對(duì)于任意一點(diǎn)P,PD與PF的差是否為固定值?如果是,請(qǐng)求出此定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)求:①當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo);②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+8;(2)PD與PF的差是定值,PD﹣PF=2;(3)①P(4,6),此時(shí)△PDE的周長(zhǎng)最小;②共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn).

【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax+h2+k

∵點(diǎn)C(0,8)是它的頂點(diǎn)坐標(biāo), ∴y=ax2+8

又∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8,0),

有64a+8=0,解得a=

故拋物線的解析式為:y=x2+8;

(2)是定值,解答如下:

設(shè)Paa2+8),則Fa,8),

D(0,6),

PD=

PF=,

PDPF=2;

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),DE大小不變,則PEPD的和最小時(shí),PDE的周長(zhǎng)最小,

PDPF=2,∴PD=PF+2,

PE+PD=PE+PF+2,

∴當(dāng)PE、F三點(diǎn)共線時(shí),PE+PF最小,

此時(shí)點(diǎn)PE的橫坐標(biāo)都為4,

x=4代入y=x2+8,得y=6,

P(4,6),此時(shí)PDE的周長(zhǎng)最。

過(guò)點(diǎn)P做PH⊥x軸,垂足為H

設(shè)Pa,a2+8)

∴PH=a2+8,EH=a-4,OH=a

SDPE=S梯形PHOD-SPHE-SDOE

=

=

=

∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))

∴0≤a≤8

當(dāng)a=6時(shí),SDPE取最大值為13.

當(dāng)a=0時(shí),SDPE取最小值為4.

即4≤SDPE≤13

其中,當(dāng)SDPE=12時(shí),有兩個(gè)點(diǎn)P

所以,共有11個(gè)令SDPE為整數(shù)的點(diǎn).

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次數(shù)

1

2

3

4

5

小王

60

75

100

90

75

小李

70

90

100

80

80

根據(jù)上表解答下列問(wèn)題:

(1)完成下表:

姓名

平均成績(jī)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

方差

小王

80

75

75

190

小李

(2)在這五次測(cè)試中,成績(jī)比較穩(wěn)定的同學(xué)是誰(shuí)?若將80分以上(含80分)的成績(jī)視為優(yōu)秀,則小王、小李在這五次測(cè)試中的優(yōu)秀率各是多少?

(3)歷屆比賽表明,成績(jī)達(dá)到80分以上(含80分)就很可能獲獎(jiǎng),成績(jī)達(dá)到90分以上(含90分)就很可能獲得一等獎(jiǎng),那么你認(rèn)為選誰(shuí)參加比賽比較合適?說(shuō)明你的理由.

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