Question

閱讀下面的材料：

小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：若1≤x≤m，求二次函數(shù)的最大值．他畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，和時(shí)的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對進(jìn)行分類討論．

他的解答過程如下：

∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，

∴由對稱性可知，和時(shí)的函數(shù)值相等．

∴若1≤m＜5，則時(shí)，的最大值為2；

若m≥5，則時(shí)，的最大值為．

請你參考小明的思路，解答下列問題：

（1）當(dāng)≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函數(shù)的最大值；

（3）若t≤x≤t+2時(shí)，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_______．

 

Answer 1

【答案】

（1）y="49" （2）y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.

【解析】

試題分析：(1) ∵y=2x²+4x+1∴y=2(x+1)²-1. ∴對稱軸x="-1,又-2≤x≤4時(shí)，y的最大值，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為49.（2）∵P≤x≤2" 由于二次函數(shù)具有對稱性，當(dāng)x=2與x=-4時(shí)，函數(shù)值相等，而x=-1時(shí)，y有最小值，是因?yàn)閍﹥0,圖像開口向上�！喈�(dāng)p≤-4，x=p時(shí)，y有最大值，y=2p²+4P+1.當(dāng)-4﹤p≤2，x="2時(shí)，y有最大值" y="17.(3)當(dāng)t≥-1，x=t+2時(shí)，y有最大值，即2（t+2" ）²+4(t+2)+1=31  (t+7)(t-1)="0" ∴t₁="1" t₂="-7(舍去)" 當(dāng)t﹤-1，x=t時(shí)，y有最大值，即2t²+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t₁="-5" t₂=3(舍去)�！鄑=1或t=-5解：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為 49 ；  ……    1分

（2）∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，

∴由對稱性可知，當(dāng)和時(shí)函數(shù)值相等.

∴若，則當(dāng)時(shí)，的最大值為.  .................... 2分

若，則當(dāng)時(shí)，的最大值為17.  ............................. 3分

（3）的值為 或 .  .................................................. 5分

閱卷說明：只寫或只寫得1分；有錯解得0分.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)解析式的求法。

點(diǎn)評：本題是難題，難點(diǎn)在于當(dāng)自變量x的取值范圍內(nèi)要考慮到對稱軸的關(guān)系，需要討論。此題還可以依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來討論，即是在對稱軸為準(zhǔn)，自變量x在那個(gè)范圍上是y隨著x的增大而增大，即為增函數(shù)，反之，減函數(shù)。由此得到函數(shù)的最值。