【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,且與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點P是線段BD上一點,當PE=PC時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,過點P作PF⊥x軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,
∴ ,
解得, ,
∴經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=﹣x2+2x+3
(2)
解:如圖1,連接PC、PE,
x=﹣ =﹣ =1,
當x=1時,y=4,
∴點D的坐標為(1,4),
設直線BD的解析式為:y=mx+n,
則 ,
解得, ,
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6,
設點P的坐標為(x,﹣2x+6),
則PC2=x2+(3+2x﹣6)2,PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
∵PC=PE,
∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
解得,x=2,
則y=﹣2×2+6=2,
∴點P的坐標為(2,2)
(3)
解:設點M的坐標為(a,0),則點G的坐標為(a,﹣a2+2a+3),
∵以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形,
∴FM=MG,即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|,
當2﹣a=﹣a2+2a+3時,
整理得,a2﹣3a﹣1=0,
解得,a= ,
當2﹣a=﹣(﹣a2+2a+3)時,
整理得,a2﹣a﹣5=0,
解得,a= ,
∴當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時,點M的坐標為( ,0),( ,0),( ,0),( ,0)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;(2)連接PC、PE,利用公式求出頂點D的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,設出點P的坐標為(x,﹣2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2 , 根據(jù)題意列出方程,解方程求出x的值,計算求出點P的坐標;(3)設點M的坐標為(a,0),表示出點G的坐標,根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程,解方程即可.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】植樹節(jié)來臨之際,學校準備購進一批樹苗,已知2棵甲種樹苗和5棵乙種樹苗共需113元;3棵甲種樹苗和2棵乙種樹苗共需87元.
(1)求一棵甲種樹苗和一棵乙種樹苗的售價各是多少元?
(2)學校準備購進這兩種樹苗共100棵,并且乙種樹苗的數(shù)量不多于甲種樹苗數(shù)量的2倍,請設計出最省錢的購買方案,并求出此時的總費用.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動,同時,點Q在線段BD上由點B向點D運動.它們運動的時間為t(s).
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當t=1時,△ACP與△BPQ是否全等,請說明理由,并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系;
(2)如圖(2),將圖(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變.設點Q的運動速度為x cm/s,是否存在實數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應的x、t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,且AE=AB,將矩形沿直線EF折疊,點B恰好落在AD邊上的點P處,連接BP交EF于點Q,對于下列結論:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
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【題目】閱讀下列推理過程,將空白部分補充完整.
(1)如圖1,∠ABC=∠A1B1C1,BD,B1D1分別是∠ABC,∠A1B1C1的角平分線,對∠DBC=∠D1B1C1進行說理.
理由:因為BD,B1D1分別是∠ABC,∠A1B1C1的角平分線
所以∠DBC= ,∠D1B1C1= (角平分線的定義)
又因為∠ABC=∠A1B1C1
所以∠ABC=∠A1B1C1
所以∠DBC=∠D1B1C1( )
(2)如圖2,EF∥AD,∠1=∠2,∠B=40°,求∠CDG的度數(shù).
因為EF∥AD,
所以∠2= ( )
又因為∠1=∠2 (已知)
所以∠1= (等量代換)
所以AB∥GD( )
所以∠B= ( )
因為∠B=40°(已知)
所以∠CDG= (等量代換)
(3)下面是“積的乘方的法則“的推導過程,在括號里寫出每一步的依據(jù).
因為(ab)n=( )
=( )
=anbn( )
所以(ab)n=anbn.
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【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點A在反比例函數(shù)y= 的圖象上.若點B在反比例函數(shù)y= 的圖象上,則k的值為 .
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC交于點D,E,過點D作⊙O的切線DF,交AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,OA⊥OB,AB⊥x軸于點C,點A( ,1)在反比例函數(shù)y= 的圖象上.
(1)求反比例函數(shù)y= 的表達式;
(2)在x軸的負半軸上存在一點P,使得S△AOP= S△AOB , 求點P的坐標;
(3)若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE.直接寫出點E的坐標,并判斷點E是否在該反比例函數(shù)的圖象上.
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