如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A（-3，0）和點B（2，0）．直線y=h（h為常數(shù)，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F，與拋物線在第二象限交于點G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BE，求h為何值時，△BDE的面積最大；
（3）已知一定點M（-2，0）．問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A（-3，0）和點B（2，0），
∴
9a-3b+6=0
4a+2b+6=0
．
解得：
a=-1
b=-1
．
∴拋物線的解析式為y=-x2-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x2-x+6，得y=6．
∴點C的坐標為（0，6）．
設經(jīng)過點B和點C的直線的解析式為y=mx+n，則
2m+n=0
n=6
，
解得
m=-3
n=6
．
∴經(jīng)過點B和點C的直線的解析式為：y=-3x+6．
∵點E在直線y=h上，
∴點E的坐標為（0，h）．
∴OE=h．
∵點D在直線y=h上，
∴點D的縱坐標為h．
把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．
解得x=
6-h
3
．
∴點D的坐標為（
6-h
3
，h）．
∴DE=
6-h
3
．
∴S△BDE=
1
2
•OE•DE=
1
2
•h•
6-h
3
=-
1
6
（h-3）2+
3
2
．
∵-
1
6
＜0且0＜h＜6，
∴當h=3時，△BDE的面積最大，最大面積是
3
2
．

（3）存在符合題意的直線y=h．
設經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為y=kx+p，則
-3k+p=0
p=6
，
解得
k=2
p=6
．
故經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x=
h-6
2
．
∴點F的坐標為（
h-6
2
，h）．
在△OFM中，OM=2，OF=
(
h-6
2
)2+h2
，MF=
(
h-6
2
+2)2+h2
．
①若OF=OM，則
(
h-6
2
)2+h2
=2，
整理，得5h2-12h+20=0．
∵△=（-12）2-4×5×20=-256＜0，
∴此方程無解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，則
(
h-6
2
)2+h2
=
(
h-6
2
+2)2+h2
，
解得h=4．
把y=h=4代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=4，
解得x1=-2，x2=1．
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（-2，4）．
③若MF=OM，則
(
h-6
2
+2)2+h2
=2，
解得h1=2，h2=-
6
5
（不合題意，舍去）．
把y=h1=2代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=2．
解得x1=
-1-
17
2
，x2=
-1+
17
2
．
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（
-1-
17
2
，2）．
綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（
-1-
17
2
，2）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，4），與x軸交于B、C兩點．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根，且OB＜OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AC上是否存在點D，使△BCD為直角三角形．若存在，求所有D點坐標；反之說理；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點（A點除外），連PA、PC，若設△PAC的面積為S，P點橫坐標為t，則S在何范圍內(nèi)時，相應的點P有且只有1個．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)y=-
3
16
x2+3的圖象與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，過點A、B分別作y軸、x軸的平行線交直線y=kx于點M、N．
（1）用k表示S△OBN：S△MAO的值．
（2）當S△OBN=
1
4
S△MAO時，求圖象過點M、N、B的二次函數(shù)的解析式．

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實踐應用：下承式混凝土連續(xù)拱圈梁組合橋，其橋面上有三對拋物線形拱圈．圖（1）是其中一個拱圈的實物照片，據(jù)有關(guān)資料記載此拱圈高AB為10.0m（含拱圈厚度和拉桿長度），橫向分跨CD為40.0m．
（1）試在示意圖（圖（2））中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求出拱圈外沿拋物線的解析式；
（2）在橋面M（BC的中點）處裝有一盞路燈（P點），為了保障安全，規(guī)定路燈距拱圈的距離PN不得少于1.1m，試求路燈支柱PM的最低高度．（結(jié)果精確到0.1m）

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如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax2+bx交于點C、D．已知點C的坐標為（1，7），點D的橫坐標為5．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）將此拋物線沿對稱軸向下平移幾個單位，拋物線與直線AB只有一個交點？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

今年我國多個省市遭受嚴重干旱，受旱災的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如下表：
周數(shù)x1234
價格y（元/kg）22.22.42.6
進入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價格y（元/千克）從5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y與周數(shù)x的變化情況滿足二次函數(shù)y=-
1
20
x2+bx+c．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識直接寫出4月份y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出5月份y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若4月份此種蔬菜的進價m（元/千克）與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=
1
4
x+1.2，5月份此種蔬菜的進價m（元/千克）與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=-
1
5
x+2．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大？且最大利潤分別是多少？
（3）若5月份的第2周共銷售100噸此種蔬菜．從5月份的第3周起，由于受暴雨的影響，此種蔬菜的可供銷量將在第2周銷量的基礎(chǔ)上每周減少a%，政府為穩(wěn)定蔬菜價格，從外地調(diào)運2噸此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜的銷售價格比第2周僅上漲0.8a%．若在這一舉措下，此種蔬菜在第3周的總銷售額與第2周剛好持平，請你參考以下數(shù)據(jù)，通過計算估算出a的整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）

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如圖，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm∕s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使△PBQ的面積等于8cm2？在移動過程中，△PBQ的最大面積是多少？

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如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，
9
2
）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

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如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）．若拋物線y=-
3
3
x2+bx+c過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；
（3）若點M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點，△MAB的面積為S，求S的最大（�。┲担�

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