Question

【題目】如圖，在△ABF中，以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點(diǎn)，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，

（1）求證：直線CD是⊙O的切線．
（2）求證：△FEC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，則∠CAO=∠ACO，

又∠FAC=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF∥CO，

而CD⊥AF，

∴CO⊥CD，

即直線CD是⊙O的切線

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

又∠FAC=∠CAO

∴AF=AB（三線合一），

∴∠F=∠B，

∵四邊形EABC是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°

∴∠FEC=∠B

∴∠F=∠FEC，

即EC=FC

所以△FEC是等腰三角形．

【解析】（1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進(jìn)而得出AF∥CO，即可得出結(jié)論；（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補(bǔ)角相等得出∠FEC=∠B 即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的判定和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．