Question

如圖1，邊長為5的正方形ABCD是20×20等距網(wǎng)格圖，E是AB的中點，DE將正方形ABCD分成明暗兩部分．線段MN的長度為5，MN的初始位置與AB重合．點M在AB上滑動，點N在BC上滑動，且MN的長度保持不變．

（1）如圖2，當(dāng)AM等于1時，MN與DE相交于點O，求ON的長；
（2）如圖3，設(shè)AM=x，BN=t，MN落在明區(qū)部分的長度為y，試用x，t表示y；
（3）觀察圖1、2、3、4，說明y隨x的變化情況．

Answer 1

分析：（1）過點O作OF∥AD交AB于F，根據(jù)△EOF和△EDA相似求出OF=2EF，設(shè)EF=a，表示出MF、OF，再根據(jù)AM=1，求出BM，然后利用勾股定理列式求出BN，然后根據(jù)△MFO和△MBN相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出a的值，再求出MO：ON，利用勾股定理列式求出MN=5，然后求解即可；
（2）過點O作OF∥AD交AB于F，然后與（1）的思路相同求解即可；
（3）觀察圖形，分點M在點E上方與下方兩種情況解答．

解答：解：（1）如圖2，過點O作OF∥AD交AB于F，
則△EOF∽△EDA，
∴

OF

AD

=

EF

AE

，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE=

1

2

AB=

1

2

×5=2.5，
∴

OF

5

=

EF

2.5

，
∴OF=2EF，
設(shè)EF=a，則MF=AE-AM-EF=2.5-1-a=1.5-a，
OF=2a，
∵AM=1，
∴BM=5-1=4，
根據(jù)勾股定理，BN=

MN2-BM2

=

52-42

=3，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴

OF

BN

=

MF

BM

，
即

2a

3

=

1.5-a

4

，
解得a=

9

22

，
∴MF=1.5-

9

22

=

12

11

，
BF=a+2.5=

9

22

+2.5=

32

11

，
∴

MO

ON

=

MF

BF

=

12 11

32 11

=

3

8

，
∴ON=5×

8

3+8

=

40

11

；

（2）如圖3，過點O作OF∥AD交AB于F，
與（1）的解法相同，設(shè)EF=a，則MF=2.5-a-x，
OF=2a，
∵OF∥AD∥BC，
∴△MFO∽△MBN，
∴

OF

BN

=

MF

BM

，
即

2a

t

=

2.5-a-x

5-x

，
解得a=

2.5t-tx

10-2x+t

，
∴

OF

BN

=

OM

MN

，
即

2× 2.5t-tx 10-2x+t

t

=

5-y

5

，
解得y=

25+5t

10-2x+t

；

（3）由圖可知，當(dāng)0＜x≤2.5時，y隨x增大而增大，
當(dāng)2.5＜x＜5時，y不再變化，為MN的長，是5．
（說明：在（3）中，不論學(xué)生用“＜”，還是“≤”，只要分段正確，均不扣分；若注意區(qū)分“＜”和“≤”的用法，則酌情加1～4分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于利用好中間量OF，運算量較大，計算時要認(rèn)真仔細(xì)．