Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設(shè)PB的長為x．
（1）當(dāng)x的值為______時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；
（2）當(dāng)x的值為______時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．

Answer 1

（1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
則四邊形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

2

，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

2

2

=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEB=90°，
當(dāng)∠APC=90°時，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當(dāng)∠DPB=90°時，P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當(dāng)x的值為3或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；

（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，
有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）由（2）知，①當(dāng)BP=1時，此時CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=

DN2+NE2

=

42+22

=2

5

≠AD，故不能構(gòu)成菱形．
②當(dāng)BP′=11時，以點P′、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP′=AD=5，
過D作DN⊥BC于N，
∵CD=4

2

，∠C=45°，
則DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3．
∴DP′=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP′=DP′，
故此時?P′DAE是菱形．
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形；