Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC=3OA．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)G（2，m）是該拋物線上一點(diǎn)，E是直線AG下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AEG的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AEG的最大面積；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）

將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

解得：

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：當(dāng)x=2時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，即G（2，﹣3），

設(shè)AG的解析式為y=kx+b，將A、G代入函數(shù)解析式，得

，解得 ，

直線AG的解析式為y=﹣x﹣1．

過E作EF⊥x軸交AG于，F(xiàn)如圖1

，

E在拋物線上，F(xiàn)在直線AG上，

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3），F(xiàn)（n，﹣n﹣1），

EF=（﹣n﹣1）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+n+2

S= EF（G﹣xA）= ×（﹣n2+n+2）[2﹣（﹣1）]

=﹣ （n﹣ ）2+ ，

當(dāng)n= 時(shí)，S最大值是 ，

n2﹣2n﹣3=﹣ ，即E（ ，﹣ ）

（3）

解：如圖2

，

① 當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），

代入拋物線的表達(dá)式，解得R= ；

②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，﹣r），

代入拋物線的表達(dá)式，解得r= ，

∴圓的半徑為 或

【解析】（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）可分別過E、G作x軸的垂線，設(shè)垂足為F、H；那么△AGE的面積=△AEF的面積+四邊形FHGE的面積﹣△AGH的面積，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出F點(diǎn)坐標(biāo)及EF的長，根據(jù)上面所得出的面積計(jì)算方法，可得出關(guān)于△AGE的面積與E點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，即可求出△AGE的最大面積及對應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標(biāo)，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．