Question

某地有一座圓弧形拱橋，圓心為O，橋下水面寬度為7.2m，過(guò)O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m（如圖所示）．現(xiàn)有一艘寬3m、船艙頂部為正方形并高出水面AB，2m的貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？

Answer 1

【答案】分析：連接ON，OB，通過(guò)求距離水面2米高處即ED長(zhǎng)為2時(shí)，橋有多寬即MN的長(zhǎng)與貨船頂部的3米做比較來(lái)判定貨船能否通過(guò)（MN大于3則能通過(guò)，MN小于等于3則不能通過(guò)）．先根據(jù)半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形求出半徑的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△OEN中勾股定理求出EN的長(zhǎng)，從而求得MN的長(zhǎng)．
解答：解：如圖，連接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，
∵AB=7.2m，
∴BD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
設(shè)OB=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m．
在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r²=（r-2.4）²+3.6²，
解得r=3.9．
∵CD=2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面AB，2m，
∴CE=2.4-2=0.4m，
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，
在Rt△OEN中，EN²=ON²-OE²=3.9²-3.5²=2.96（m²），
∴EN=（m）．
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．
∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)橋拱問(wèn)題，通常是利用半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直角三角形中的勾股定理作為相等關(guān)系解方程求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．要注意本題是通過(guò)求距離水面2米高處即ED長(zhǎng)為2時(shí)，橋有多寬即MN的長(zhǎng)與貨船頂部的3米做比較來(lái)判定貨船能否通過(guò)（MN大于3則能通過(guò)，MN小于等于3則不能通過(guò)）．