Question

【題目】問(wèn)題探究：
【1】新知學(xué)習(xí)
⑴梯形的中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．
⑵梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
⑶形如分式 （m為常數(shù)，且m＞0），若x＞0，則 ，并且有下列結(jié)論：
當(dāng)x 逐漸增大時(shí)，分母x+2m逐漸增大，分式 的值逐漸減少并趨于0，但仍大于0．當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母x+2m逐漸減少，分式 的值逐漸增大并趨于 ，即趨于 ，但仍小于 ．
【2】問(wèn)題解決
如圖2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．

（1）設(shè)AD=7，BC=17，求 的值．
（2）設(shè)AD=a（a為正的常數(shù)），BC=x，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí)， 的值能否大于或等于3，試證明你的結(jié)論．
（3）進(jìn)一步猜想：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是什么，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，

∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）= （7+17）=12，

∴ = =

（2）

解：當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí)， 的值不能大于或等于3；理由如下：

∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF= （AD+BC）= （a+x），

由（1）得： = = ，

當(dāng)BC的長(zhǎng)x不斷增大時(shí)， 的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；

∴當(dāng)BC的長(zhǎng)不斷增大時(shí)， 的值不能大于或等于3

（3）

解：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3；理由如下：

由（2）得： = ＜3，當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，

則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，

∴ = 的值趨于1，但大于1，

∴1＜ ＜3，

故任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3

【解析】問(wèn)題解決（1）設(shè)梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，證出EF是梯形ABCD的中位線，由梯形中位線定理得出EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）=12，由梯形面積公式即可得出答案；（2）由梯形中位線定理得出EF= （AD+BC）= （a+x），由（1）得： = = ，當(dāng)BC的長(zhǎng)x不斷增大時(shí)， 的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；（3）由（2）得： = ＜3，當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，得出 = 的值趨于1，但大于1，即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用梯形的中位線的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半．