Question

（1）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+n=

 

；


（2）運(yùn)用第（1）題的結(jié)論，試求1+2+3+…+99的值；
（3）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，為了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值，小明設(shè)計(jì)了如圖3所示的邊長(zhǎng)為1的正方形圖形．請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值為

 

；
（4）運(yùn)用第（3）題的結(jié)論，試求

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

的值．

Answer 1

分析：（1）看圖2可得圓圈共有n層，每層有（n+1）個(gè)，求得n層圓圈的個(gè)數(shù)，除以2即可；
（2）利用（1）得到的公式計(jì)算即可；
（3）讓最大的正方形的面積減去最小的長(zhǎng)方形的面積即可；
（4）先整理為分子為1的形式，進(jìn)而整理為分母為底數(shù)為2的冪的形式，利用（3）的結(jié)論作答即可．

解答：解：（1）平行四邊形中圓圈的個(gè)數(shù)為n（n+1），
∴圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故答案為

n(n+1)

2

；
（2）1+2+3+…+99=

99×100

2

=4950；
（3）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

=1-

1

2n

，
故答案為1-

1

2n

；
（4）

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

=1-

1

6

+1-

1

12

+1-

1

24

+1-

1

48

+1-

1

96

+1-

1

192

=6-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

26

）=6-

1

3

×（1-

1

26

）=

363

64

．

點(diǎn)評(píng)：考查有關(guān)規(guī)律性的計(jì)算；根據(jù)所給圖形得到計(jì)算的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．