Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點(diǎn)，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點(diǎn)E在半圓弧上．
①若正方形的頂點(diǎn)F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是

 

；
②若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=

5

a，從而用含a的代數(shù)式表示半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，所以可求得半圓的半徑與正方形邊長的比；
②連接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關(guān)系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB=21．

解答：解：①如圖，根據(jù)圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，
H為半圓的圓心，不妨設(shè)GH=a，則GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=

5

a．由此可得，半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，
所以半圓的半徑與正方形邊長的比是

5

a：2a=

5

：2；

②因?yàn)檎�方形DEFG的面積為100，所以正方形DEFG邊長為10．
連接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，
設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在直角三角形AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
于是得到ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
解①式和②式，得x+y=21，
即半圓的直徑AB=21．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓、三角形、方程等知識，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，難度偏上，需要正確理解相關(guān)知識點(diǎn)及懂得運(yùn)用方能很好的解答本題．