Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為 ， 數(shù)量關(guān)系為 ．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如圖4，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．且AC=4 ，BC=3，∠BCA=45°，正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）CF⊥BD,CF=BD,解：成立,理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF在△BAD與△CAF中, ．∴△BAD≌△CAF,∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,∴∠BCF=90°∴CF⊥BD；
（2）解：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G，

則∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

在△GAD與△CAF中， ，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即CF⊥BC．

過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q，

∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45°，AC=4 ，

∴由勾股定理得AQ=CQ=4．

設(shè)CD=x，

∴DQ=4﹣x，

∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°

且∠ADE=90°，

∴∠ADQ+∠PDC=90°，

又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°

∴∠ADQ=∠DPC，

∵∠AQD=∠DCP=90°

∴△AQD∽△DCP，

∴ ，

∴ ．

∴CP=﹣ x2+x=﹣ （x﹣2）2+1．

∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1．

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

所以答案是：CF⊥BD，CF=BD；

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．