Question

【題目】如圖①，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=﹣x+2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線l平行于x軸，直線l從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸負(fù)半軸方向向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O停止，且分別交線段AC、線段BC、拋物線、y軸于點(diǎn)E、D、F（點(diǎn)F在對(duì)稱軸的右側(cè)）、H，當(dāng)點(diǎn)D是線段EF的三等分點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（3）如圖②，在直線l運(yùn)動(dòng)的過程中，過點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G，四邊形OHDG與△AOC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸的交點(diǎn)為A（2，0），C（0，2），AB=2，

∴B（4，0），

把A（2，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y=ax2+bx+c中，

得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+2

（2）

解：∵OA=OC=2，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵直線l∥x軸，

∴△HEC是等腰直角三角形，

∵OA=AB=2，

∴HE=DE，

① 如圖①中，當(dāng)DF=2DE時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)（4t，2﹣t），

∴2﹣t= ×（4t）2﹣ ×4t+2，

∴t= 或0（舍棄），

②如圖2中，當(dāng)DE=2DF時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)（ t，2﹣t），

∴2﹣t= ×（ t）2﹣ × t+2，

∴t= 或0（舍棄），

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D是線段EF的三等分點(diǎn)時(shí)，t的值為 s或 s

（3）

解：①如圖③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是五邊形EHOGK，

S=S矩形OHDG﹣S△DEK=2t（2﹣t）﹣ t2=﹣ t2+4t，

②如圖④中，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，重疊部分是四邊形OHEA，

S= （t+2）（2﹣t）=﹣ t2+2，

綜上所述，S= ．

【解析】（1）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，解方程組即可．（2）分兩種情形①如圖①中，當(dāng)DF=2DE時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)（4t，2﹣t），②如圖2中，當(dāng)DE=2DF時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)（ t，2﹣t），想辦法列出方程解決問題．（3）分兩種情形①如圖③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是五邊形EHOGK，②如圖④中，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，重疊部分是四邊形OHEA，分別計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用求根公式和相似三角形的性質(zhì)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．