Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，以為邊在軸下方作正方形，點是線段與正方形的外接圓的交點，連接與相交于點．

(1)求證：；

(2)若，試求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，將拋物線在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象，若直線向上平移t個單位與新圖象有兩個公共點，試求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等，△ABF和△ADO中，根據(jù)圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一組直角和AB=AD，因此兩三角形全等，即可得出BF=OD的結論；

（2）根據(jù)已知可得AO=m，BO=，AB=m，因為∠DAB=，可得BD是圓的直徑，再證明△BEO≌△BED，得BD=BO=，且BD=AB，列等式可求出m值，因為△ABF≌△ADO，可求得F點的坐標，拋物線l經(jīng)過A、B點，設解析式為y=ax(x)，將F點坐標代入解析式即可求解．

（3）當直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經(jīng)過原點O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個公共點，平移到經(jīng)過點O時與新圖象有3個公共點，并且0<t<OG，利用已知條件求出OG的長即可求出t的取值范圍；當直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時，直線BE與圖象的交點又變?yōu)閮蓚�，設相切時直線BE的解析式為，求出方程組的解，進而求出t的取值范圍．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=

在△ABF和△ADO中

∴△ABF≌△ADO(ASA)，

∴BF=DO

(2)∵A(m,0)，B(,0)，

∴AO=m，BO=，AB=m，

∵，

∴∠EBO=∠EBD，

∵∠DAB=，

∴BD為直徑

∴∠BEO=∠BED=，

又∵BE=BE，

∴△BEO≌△BED，

∴BD=BO=，

在Rt△BCD中BD=AB，

∴=(m)，

∴m=-2

∵△ABF≌△ADO，

∴AF=AO=m=-2，

∴F點的坐標為(-2,2)，

∵拋物線C經(jīng)過O(0,0)，B(,0)，

設C的解析式為y=ax(x)，

將F(-2,2)代入得：a=，

∴拋物線l的解析式為

故答案為：

(3) ①如圖，設直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經(jīng)過原點O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個公共點，平移到經(jīng)過點O時與新圖象有3個公共點．

∴0＜t＜OG，

設直線BE的解析式為y=kx+m，將B(,0)，F(-2,2)代入y=kx+m

得

解得

∴

當x=0時，y=span>，

∴OG=，此時t的取值范圍是：0＜t＜

②如圖，當直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時，直線BE與圖象的交點又變?yōu)閮蓚�，拋物線沿x軸折疊后的解析式變?yōu)椋?/span>，設相切時直線BE的解析式為

有一個解，

于是方程有兩個相等的實數(shù)根，
即△=1-4××b=0，解得b=

此時直線BE的解析式為

直線BE與y軸的交點為(0,)，

∴OG=+()=

∴此時t的取值范圍是：t＞

綜上所述：t的取值范圍為：0＜t＜或t＞

故答案為：0＜t＜或t＞