Question

（2013•西寧）如圖，正方形AOCB在平面直角坐標系xoy中，點O為原點，點B在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的關系式；
（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關于t的函數(shù)關系式，并求出當運動時間t取何值時，△BEF的面積最大？
（3）當運動時間為

4

3

秒時，在坐標軸上是否存在點P，使△PEF的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用三角形面積求出正方形邊長，進而得出B點坐標，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）①作F點關于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，-

4

3

），經(jīng)過點E、F₁作直線求出圖象與x軸交點坐標即可；
②作E點關于y軸的對稱點E₁，得E₁（-

4

3

，4），經(jīng)過點E₁、F作直線求出圖象與y軸交點坐標即可．

解答：解：（1）∵四邊形AOCB為正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
設點B坐標為（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴

1

2

a2=8，
∴a=±4
又∵點B在第一象限
點B坐標為（4，4），
將點B（4，4）代入y=

k

x

得，k=16
∴反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；

（2）∵運動時間為t，
∴AE=t，BF=2t
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴S△BEF=

1

2

(4-t)•2t=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當t=2時，△BEF的面積最大；

（3）存在．                              
當t=

4

3

時，點E的坐標為（

4

3

，4），點F的坐標為（4，

4

3

）
①作F點關于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，-

4

3

），經(jīng)過點E、F₁作直線
由E（

4

3

，4），F(xiàn)₁（4，-

4

3

）代入y=ax+b得：

4 3 a+b=4 4a+b=- 4 3

，
解得：

a=-2 b= 20 3

，
可得直線EF₁的解析式是y=-2x+

20

3

當y=0時，x=

10

3

∴P點的坐標為（

10

3

，0）
②作E點關于y軸的對稱點E₁，得E₁（-

4

3

，4），經(jīng)過點E₁、F作直線
由E₁（-

4

3

，4），F(xiàn)（4，

4

3

）設解析式為：y=kx+c，

- 4 3 k+c=4 4k+c= 4 3

，
解得：

k=- 1 2 c= 10 3

，
可得直線E₁F的解析式是：y=-

1

2

x+

10

3

當x=0時，y=

10

3

∴P點的坐標為（0，

10

3

），
∴P點的坐標分別為（

10

3

，0）或（0，

10

3

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值問題等知識，利用軸對稱得出對應點是解題關鍵．