Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD于點E，F(xiàn).

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）AE=.

【解析】分析：（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.

詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，

設BE=x，則DE=x，AE=6-x，

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（6-x）2，

解得：x= ，

∵BD= =2，

∴OB=BD=，

∵BD⊥EF，

∴EO==，

∴EF=2EO=．