Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA=10，OC=3，BC=6．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度由A向O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤5），
（1）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQAB是平行四邊形？
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQAB是等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）由題意可得CP=t，AQ=2t，BP=BC-CP=6-t，又由當(dāng)BP=AQ時(shí)，四邊形PQAB是平行四邊形，可得方程6-t=2t，解此方程即可求得t的值；
（2）由當(dāng)PQ=AB，PB≠AQ時(shí)，四邊形PQAB是等腰梯形，可得方程：4+6-t+4=2t，解此方程即可求得t的值．

解答：解：∵四邊形OABC為直角梯形，OA=10，OC=3，BC=6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度由A向O運(yùn)動(dòng)，
∴CP=t，AQ=2t，
∴BP=BC-CP=6-t，
（1）∵四邊形OABC為直角梯形，
∴BC∥OA，
∴當(dāng)BP=AQ時(shí)，四邊形PQAB是平行四邊形，
即6-t=2t，
即t=2，
故當(dāng)t為2時(shí)，四邊形PQAB是平行四邊形；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥OA于點(diǎn)F，
∵OA∥BC，
∴四邊形PBFE是矩形，四邊形OCBF是矩形，
∴EF=BP=6-t，PE=BF，OF=BC，
∴AF=OA-BC=10-6=4，
∵當(dāng)PQ=AB，PB≠AQ時(shí)，四邊形PQAB是等腰梯形，
在Rt△PQE和Rt△BAF中，
∵

PE=BF PQ=BA

，
∴Rt△PQE≌Rt△BAF（HL），
∴QE=AF=4，
∵QE+EF+AF=AQ，
∴4+6-t+4=2t，
解得：t=

14

3

，
故當(dāng)t為

14

3

時(shí)，四邊形PQAB是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．